✨ ベストアンサー ✨
例えば
⓪This is the book that I have wanted to read.
という文を考えてください。
この文は
①This is the book.
②I have wanted to read the book.
をひとまとめにした、と考えることができますよね。
①②から⓪の文を頭の中で作ってみてください。
以下のようなプロセスになるはずです。
・①②に共通する要素を見つける（=the book）
・どっちが主節でどっちが従属節(関係詞節)かを確認（①が主、②が従）
・共通要素（=the book）のうち従属節の方のやつを適切な関係詞に変える（=the bookをthatに）
・②の語順を入れ替えて、①にくっつける
ってことは
⓪This is the book that I have wanted to read.
この関係詞thatは、the bookのことをさしているんです。（=the bookをthatに したのだから）
関係詞ってのは、和訳するときには、
この関係詞を何か日本語にすることはないから、
ただの記号のように思ってしまいがちですが
英語ではちゃんと意味を持っていて
関係代名詞が指す内容は、先行詞と一致します。
（"代名詞"という呼び名のとおり）
で、今回の文に戻ります。
連鎖関係詞の部分を( )でくくりました。
The vice president made an announcement that (she felt certain) would increase her popularity with voters.
このthatは関係代名詞ですね。
繰り返しますが
関係代名詞の指す内容は、先行詞と一致します。
だから、この関係代名詞はan announcementのことを指しています。
で、最初の例文でやったみたいに語順を戻して2文に分けてみると
①The vice president made an announcement.
②she felt certain an announcement would increase her popularity with voters.
この2文に分かれます。
ポイントは②の
an announcement would increase
です。
参考書の解説のあるとおり
「人気が増す（増える）」という日本語は普通に考えると自然な感じがしますが
でもこの英文では、
increaseの主語はan announcementなんです。
ついでに言うと
increaseは他動詞で使われていて、目的語はher popularity with votersです。
つまり
「発表が、人気を、増す（増やす）」
と言っています。
「人気が増す（増える）」
と訳してしまうと、
このincreaseの主語が実際の英文とは違ってしまうし
increaseを自動詞として訳していることになるので
採点者の側に
この受験生は正しく英文を読めてないんじゃないの？
という誤解を与えてしまいかねません。
だからそのように訳すのは避けろと言っているのだと思います。
返信遅くなってしまってすみません。とても丁寧に答えて下さって本当にありがとうございます。お陰様で理解することが出来ました。