解ける漸化式は、多くが「等比の型」に持ち込みますよ
次いで「階差の型」、「等差の型」です
3つくらいなので、それ自体の発想にはすぐ慣れます
すでにいくつかの漸化式は解いているものと察しますが、
それらの多くは以下のようだったはずです
a[n+1] = (定数)a[n] +(nの式f(n))
という形は、ふつう
a[n+1] -g(n+1) = (定数)( a[n] -g(n) )
の形にする
これにより、数列( a[n] -g(n) )は等比になる
a[n+1] = 3a[n] +4ならg(n)は定数だし、
a[n+1] = 3a[n] +2ⁿならg(n)はα×2ⁿみたいな形だし、
a[n+1] = 3a[n] +nならg(n)は1次式だし、
a[n+1] = 3a[n] +n²-nならg(n)は2次式でした
終わりに足されているものと同じような形ということですね
今回は終わりが(n-1)/( n(n+1) )なので、
(n-1)/( n(n+1) ) = (-1/n)+(2/(n+1))
という部分分数分解も合わせて、
そのような形にしています
（部分分数分解のくだりは、この時点で考えなくても
結果としてうまくいきそうです
このタイプの漸化式は等比数列の型に持ち込めると証明されているからこの式変形をしているというよりかは、等比数列の型に持ち込めたらいいなという予想から式を立ててみて結果的にうまく変形できたという感じでしょうか。
自分が勉強した基本問題集では載っていないような解き方だったので、どういう発想で解いているのかが気になります｡｡｡
変な日本語ですみません。