Question

お昼寝たいむ

(2)の別解のやり方が使えるのってどんな時ですか?

C2-164
(512) 第6章 式と曲線
Think
例題 C2.74 曲線の媒介変数表示 (2)
****
次の媒介変数表示は,どのような曲線を表すか. (tは媒介変数)
2(1-12)
x= ++
x=- 1+t
2t
y=t
t
1+12
(筑波大)
[考え方
媒介変数を消去する.
分数式を含む場合は,t=(x,y の式)やf=(xy の式)に変形する他に、両辺を2
することなどを考えてみよう.
www.
また、含まない点がある場合があるので、その変域に注意しよう.
解答
(1)x=2(1+1+1)より、1+1=08-1
t+
(1)
t
うまくを
y=t-11より、
t
消していく。
①+② より,
②より,
①,②'の辺々を掛けて,
4 = (リージ
2
-y” より,
①を変形すると、ピー
=
2t=1+y
・①、
2 x
t 2
l-y
_(x-2)2y2
1=
16
4
(2)
D₁=(-1)-4=-
t+1=0 より 判別
式をD, とすると,
x2
x-3≧0 より
x≤-2, 6≤x
相加相でも
x,yの変域を調べる.
与えられた媒介変数表示
より,それぞれについ
て整理する.
判別式を用いて実数解を
もつ条件を調べる.
y4
また、②を変形すると, いける。
t-yt-1=0
より, 判別式をD2 とすると,
D2=y'+4>0
したがって,yはすべての実数値をとる.
よって、与えられた媒介変数表示は, 双曲線
(x-2)^y'
16
x=-
-=1 を表す.
4
より,
2 (1-t2)
1+t
=2-x
x+2
(x-2)
①を代入して整理すると,
2t
y=-
1+12
t=
2y
x+2
2y 2-x
②①に代入して,
\x+2, x+2
(x+2)t=2-x
x=2のとき,
(右辺) 0 より x 2
| y(1+
2-x
=2t
より、
x+2
4y
x+2
-=2t
YA
4y2=(x+2) (2-x)
4y=-x2+4

3 媒介変数表示 (513)
C2-165
ここで,x=-2 とすると, y=0 より,
(-2.0) は除く。
①より,キー2のとき、f=2-xz
≧0 だから.
x+2
-2<x≦2
2t
₤13, y=1+1²
より yt²-2t+y=0
③
D
4=1-y'≧0より,
y=0 のとき, ③の判別式をDとすると,
y=0 のとき, ③より, t=0
-1≦y≦1 (y¥0)
「x, y の変域」 は 「x, y
を表す媒介変数が存在す
る範囲」 であるから,そ
れぞれをtについて整理
すると,f の式で表せる.
xの変域は≧0 を利用
する.
したがって,x,y の変域は,
-2<x≦2,-1≦y≦1
よって, 与えられた媒介変数表示は,
楕円x'+4y=4 (点(-2, 0)は除く)を表す.
(別解)t=tan-
<<π) とおくと,
2 tan-
2t
1+t
1+tan²
2.
sin
COS
0
8-28-2
・cos?
cos2 6 + sin2
2
=2sincos 1/2= sin(2.22)=
029-268-29-2
8|2
|8|2
|=sin 0
0
0
1-t2
1-tan
cos² -sin 2
2
2
1+t
20
1+tan[2]
COS +sin²
2
2
yの変域は, tの2次方程
式が実数解をもつ条件を
調べる.
除く点に注意する.
嘆くより。
2
t はすべての実数値をと
る.
=cos(22)=cose
より、
[x=2cos0
ly=sino
sin'0+ cos'0=1 より,
y+(1/2) = 1 つまり.
j°+(1/2=1
x²+4y=4
また、キπより,
(x,y)=(-2.0)
|x=2cos0,y=sin0
よって,
より,0=π,-πのと
楕円x'+4y=4 (点(-2,0)は除く)を表す. きはどちらも,
(x,y)=(-2,0)
練習 次の媒介変数表示は,どのような曲線を表すか. (tは媒介変数)
C2.74
1-t²
x=
***
1+12
(1)
2t
y
1+t
第6章
|x=t+++1
t
(2)
y = +1
B1
B2
C1
p.C2-17015
C2