Question

K

(2)と(3)を教えて欲しいです。
お願いします。

4 2次関数 f(x) = x-4x+α-a がある。 ただし, α は正の定数とする。
(1) y=f(x) のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
(2) 0≦x≦3 における f(x) の最小値が8であるとき,αの値を求めよ。 また,このとき,
0≦x≦3 における f(x) の最大値を求めよ。
(3)a を(2)で求めた値とし,tはt>/12 を満たす定数とする。t≦x≦t+3 における f(x) の
最大値を M, 最小値を とする。 このとき,M を t を用いて表せ。 また, M-m=3 と
なるようなtの値を求めよ。
(配点 25)

Answer 1

ブドウくん

f(x)=x²-4x+a²-a
　 =(x-2)²+(a²-a-4)
であるから、頂点は(2, a²-a-4)の下に凸な2次関数だとわかります。
つまり、この2次関数の軸は常にx=2であり、aが変わっても上下にしか動きません。

0≦x≦3において、この2次関数は頂点で最小値を取るので、
a²-a-4=8
a²-a-12=0
(a+3)(a-4)=0
aは正の定数なのでa=4
また、0≦x≦3において、この2次関数はx=0で最大値を取るので、f (0)=a²-aが最大。a=4を代入して12です。

(3)は手書きの方がわかりやすいと思うので、家に帰ってから送ります。他の方が送っていたら送らないかもしれません。

K

ありがとうございます。
一つ質問なのですが、なぜaは正の定数だと分かるのですか？

ブドウくん

問題文1行目にめっちゃ書いてます。

K

気づかなかったです。
ありがとうございます。