平方根の中は基本的に積の形に持ち込むことで扱いやすくなります。引き算を掛け算にする方法は因数分解でしたね。
2010-15aを15でくくると
15(134-a)
となります。
15は3×5なので平方根の中は
3×5×(134-a)
になります。
平方根の中は、同じものが2つ揃ったときにルートが外れます（つまり整数になる）。例えば、√(5×5)=5です。
今ルートの中には、3と5が1つずつあるので、134-aが少なくとも3と5を1つずつは持っていないと、ペアが作れません。例えば、
134-a = 3×5
であれば、ルートの中
3×5×(134-a) が
3×5×(3×5)
になれば3と5が2つずつになるので、ルートが外れます。
ただ、別に(134-a)に3×5の他に2×2のようなものをつけた場合でも
3×5×(134-a) が
3×5×(3×5×2×2)
となって、3も5も2も2つずつになるので、ルートが外れます。
つまり、134-aが3×5×k×k（kは自然数）のような形で表せるとき、ルートが外れるといえます。
よってここからは
134-a=15k²
と表せるように、自然数kを順に考えます。ただし、aは自然数なのでどれだけ小さくても左辺は133以下になるので、イコールで結ばれている右辺15k² も133以下であることに注意が必要です。
k=1のとき、134-a=15×1² a=119
k=2のとき、134-a=15×2² a=74
k=3以上のとき、15k²は15×3²=135以上となり、133以下にはならない。
よって、答えは74と119です。
慣れるまでは難しいと思うので、わからないことあればコメントしてください。
ちょっとところどころ日本語おかしいところあります、すみません。お酒が少し入っているせいってことにさせてください笑。