1.finish の後は 動名詞 だから writing
2.ここでの remember は文脈上「～するのを覚えている」であることより remember の後は 不定詞 だから to mail
3.ここでの remember は文脈上「～したのを覚えている」であることより remember の後は 動名詞 だから playing
4.前置詞の後は 動名詞 だから graduating
覚えようとしなくてもいっぱい問題を解いているうちに身に付いてきますよ。
頑張ります！
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