seatは「~を着席させる」という他動詞なので、「座る」というときはbe seatedとします。これは「座っている状態」を表し、sit downの丁寧表現になります。よく、飛行機などで「完全に止まるまで座っていてください。」というときbe動詞をremainにして、Please remain seated until~と使われます。
standは自動詞なので「立っている」は進行形にするときと同様にstandingとします。
自動詞か他動詞か、という違いです。
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