△ADCで頂角の二等分線が底辺を二等分しているので、AE⊥DCで∠AEBは90°です。
ここで△ABEに注目して、ADは∠BAEの二等分線であるので、AB：AE＝BD：DEが成り立ちます。よって、AB：AE＝4：2＝2：1。つまり△ABEは辺の比が1：2：√3の特別な直角三角形と分かります。
したがって、BE：AE＝(4＋2)：AE＝√3：1
これを解いて、AE＝2√3
だと思います、、間違ってたらすみません！
自分は春から高校生になる身なので中学の範囲で解きましたがもっと簡単な公式があるかもしれません。。
