みぃさんの回答に加えて…
wouldには「仮定」の意味があります。
つまり、「…するつもりである(でも、しないかも…)」「…でありますように」という意味です。
この意味を問題文に当てはめて訳すと…
「あなたは外出をしてもかまいませんが、帽子をかぶるつもりでしょう(でも、かぶらないかも…)」
あるいは、
「あなたは外出をしてもかまいませんが、帽子をかぶりますように」
となり、意味的におかしくなります。
canだと「あなたは外出をしてもかまいませんが、帽子をかぶることが出来る」
mayだと「あなたは外出をしてもかまいませんが、帽子をかぶるかもしれません(帽子をかぶってもかまいません)」となって、どちらともまた意味的におかしくなります。
ということで…
正解は、mustです。「あなたは外出をしてもかまいませんが、帽子をかぶらなければなりません」となります。これなら意味的にも通じますよね。
助動詞は、話し手の心の細かな描写をしてくれる役割があるので、覚えていくと英文を書く時に表現の幅が広がりますよ。
参考になれば嬉しいです。
