【解答例】問題5)
初速度の鉛直方向の成分 : v0*sinθ
初速度の水平方向の成分 : v0*cosθ
等加速度運動の公式(x軸方向に初速度v0、t=0でx=0)
v = v0 + at ...①
x = v0*t + (1/2)a*t^2 ...②
v^2 - (v0)^2 = 2ax ...③
水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとる。
(1) 最高点に達した時に速度の鉛直方向の成分はゼロになるので、①式より
0 = v0*sinθ - g*t1
∴ t1 = v0*sinθ / g
最高点の高さ h は、③式より
0 - (v0)^2 = 2(-g)h
∴ h = (v0)^2 / 2g
※t = t1のとき、y = hとしてx→yとした③式に代入してもよい。
(2)落下するまでの時間 t2 とすると、運動の対称性より最高点に達した時間の二倍になるので、
t2 = 2*t1 = 2*v0*sinθ / g
※もしくは、y = 0 として(x→yと読み替えて)②式より計算。
落下した時の水平距離 x は、
x
= v0*cosθ * t2
= v0*cosθ * 2*v0*sinθ / g
= (v0)^2 / g ｛2cosθsinθ｝
= (v0)^2 * sin2θ / g (∵2cosθsinθ= sin2θ)
【補足】水平到達距離 x が最大の投射角
sin2θ = 1 のときに x は最大となるので、
2θ = π/2 + 2nπ (nは整数)
0<θ<π/2 なので、
2θ = π/2 ∴ θ = π/4
一般に斜方投射で物体がもっとも遠くへ届く投射角は45°となります。
ありがとうございます