二項定理とのアナロジーで考えるとイメージしやすいと思います
n=1のときは素朴に計算するとして、n≧2のとき
(dⁿ/dxⁿ)(x²e²ˣ)
＝Σ[k=0~n]nCk(dᵏ/dxᵏ)(x²)•(dⁿ⁻ᵏ/dxⁿ⁻ᵏ)(e²ˣ)
＝x²•(dⁿ/dxⁿ)(e²ˣ)
+2x•(dⁿ⁻¹/dxⁿ⁻¹)(e²ˣ)
+2•(dⁿ⁻²/dxⁿ⁻²)(e²ˣ)
+0•(dⁿ⁻³/dxⁿ⁻³)(e²ˣ)
+⋯
＝x²•2ⁿe²ˣ+2x•2ⁿ⁻¹e²ˣ+2•2ⁿ⁻²e²ˣ
＝2ⁿ⁻¹e²ˣ(2x²+2x+1)
