Question

ブドウくん

正三角形ABCにおいて、重心Gと外心Oと垂心Hが一致することをベクトルを使って示してほしいです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

ベクトルの矢印は省略します

(外心)
AO=sAB+tAC とおきます
|BO|=|CO| より
|BO|²=|CO|²
|AO-AB|²=|AO-AC|²
|AO|²-2AO•AB+|AB|²=|AO|²-2AO•AC+|AC|²
AO•(AB-AC)=0
(sAB+tAC)•(AB-AC)=0
s|AB|²-(s-t)AB•AC-t|AC|²=0
(s-t)(|AB||AC|-AB•AC)=0
△ABCは三角形ゆえ |AB||AC|-AB•AC>0 であるから
s=t

|AO|=|BO| より
|AO|²=|BO|²
|AO²=|AO-AB|²
|AO|²=|AO|²-2AO•AB+|AB|²
2AO•AB=|AB|²
2(sAB+sAC)•AB=|AB|²
2s|AB|²+2sAB•AC=|AB|²
2s|AB|²+2s|AB||AC|cos(π/3)=|AB|²
2s+s=1
∴s=1/3, t=1/3
よって、
AO=(AB+AC)/3
であるから、点Oと点Gは一致します

(垂心)
AH=uAB+vAC とおきます
AH⊥BC より
AH•BC=0
(uAB+vAC)•(AC-AB)=0
-u|AB|²+(u-v)AB•AC+v|AC|²=0
(v-u)(|AB||AC|-(AB•AC))=0
△ABCは三角形ゆえ |AB||AC|-AB•AC>0 であるから
u=v

CH⊥AB より
CH•AB=0
(AH-AC)•AB=0
(uAB+uAC-AC)•AB=0
u|AB|²+uAB•AC=AB•AC
u|AB|²+u|AB||AC|cos(π/3)=|AB||AC|cos(π/3)
u+(u/2)=1/2
∴u=1/3, v=1/3
よって、
AH=(AB+AC)/3
であるから、点Hと点Gは一致します

ブドウくん

ありがとうございます。