✨ ベストアンサー ✨
1. 答案の書き方ということですかね？これくらいなら画像のように書いても大丈夫だと思いますが、厳密に示したい場合は
f⁽ᵏ⁾(x)=(1/2)(1/2-1)•⋯•(1/2-(k-1))x¹ʼ²⁻ᵏ
を帰納法で示すことになるでしょう
2. そうですね
1≦t≦1.2 のとき
|f⁽ⁿ⁾(t)| ≦ max[1≦x≦1.2] |f(x)|
なので、特に t=1+0.2θ のとき
|f⁽ⁿ⁾(1+0.2θ)| ≦ max[1≦x≦1.2] |f(x)|
となり、両辺に 0.2ⁿ/n! をかけると
|Rn| ≦ (0.2ⁿ/n!)max[1≦x≦1.2] |f(x)|
が得られます
3. 前半はどういう質問かよく分かってないのですが、上の説明で解決しますかね？後半については
0<θ<1
より
1<1+0.2θ<1.2
なので 1≦x≦1.2 で考えるということです
1. についてはそうですね。n階導関数を求めるときって大抵推測な気がします。ライプニッツの定理がたまに使えるくらいです
3. について。うまく説明できないかもしれないですが…
元々のモチベーションは、nを大きくとることで
|Rn| ≦ 10⁻³
とすることにありました。
|Rn| = (0.2ⁿ/n!)•|f⁽ⁿ⁾(1+0.2θ)|
であり、0.2ⁿ/n! の部分は容易に計算ができます
問題なのは |f⁽ⁿ⁾(1+0.2θ)| の部分です。f⁽ⁿ⁾(x) は分かっているので 1+0.2θ を代入することはできますが、θがいくつなのか分からないため具体的に値を出せません。平均値の定理というのはθの存在は保証しても、θがどんな値なのかは教えてくれないんですね。これでは |Rn| が 10⁻³ より大きいか小さいか調べられないですね
そこで、θがどんな値だったとしてもいいように
|Rn| ≦ (θを含まない式)
となるように上から評価しようという考えに至ります
ここでmaxが登場するわけです。θがどんな値をとろうが所詮は 1<1+0.2θ<1.2 ですから、|f⁽ⁿ⁾(1+0.2θ)| は max[1≦t≦1.2] |f⁽ⁿ⁾(t)| で上から抑えられます。つまり
|Rn| ≦ (0.2ⁿ/n!)•max[1≦t≦1.2] |f⁽ⁿ⁾(t)|
とすることでθを含まない式で上から評価できるのです
maxが出てくる理由はおおよそこんな感じですかね
そういうことだったんですか。いきなり出てきて意味が分かりませんでしたが、理解できました。類題を解いて理解を深めたいと思います。ありがとうございます。
返信が遅くなってすみません。
1.はn階導関数を求めよという問いなら帰納法で解いていくと思いますが、この問題では不用と考えました。質問内容は、今回の場合は推測するかということでした…分かりにくくてすみませんでした。
2.納得しました。
3.後半の部分は分かりました。前半の部分は、このmaxがいきなり不等式の中にでてきたのでよくわかりませんでした。何かの最大値を表しているのだろうとは思いましたが、これより後が最大値になるのかと考えましたがよく分かりません。このmaxは何の最大値なのか理解できてないと思います。上手く書けないですが、説明お願いします。