Question

Focus Gold

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Answer 1

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途中で送ってしまいました。

④ ⇔ 1 = a(−ω−1) +bω +c (∵(1)より、(ω+1)^12 =1)
⇔ (a−b)ω +a−c+1 =0 …⑤

また、x^2 +x +1 =0 の判別式Dは、
D = 1^2 −4×1×1 = −3 <0
よってこの解ωは虚数である。
これと、a、b、cは全て実数であることより、
⑤ ⇔ a−b =0 かつ a−c+1=0 ⇔ b = a、c = a+1

③に代入して、2^12 = a+a+(a+1)
a = (2^12 −1) /3 = 1365
よって、b=1365、c=1366
したがって求める余りは、1365x^2 +1365x +1366
間違ってたらすみません。

Focus Gold

ありがとうございます！助かりました

Answer 2

チャート

(1)ωはx^2 +x +1 =0の解なので、ω^2 +ω +1 =0 …①
変形して ω^2 = −ω −1
ω^3 = ω(−ω−1)
= −ω^2 −ω =1 (∵①) …②
よって、(ω+1)^12 = (−ω^2)^12 (∵①)
= (ω^3)^8
= 1 (∵②)
(2)求める余りをax^2 +bx +c (a、b、cは実数)、
商をQ(x)とおくと、
(x+1)^12 = (x^3 −1)Q(x) +ax^2 +bx +c
= (x−1)(x^2 +x +1)Q(x) +ax^2 +bx +c
と表せる。

x=1を代入すると、2^12 = a+b+c …③
x=ωを代入すると、(ω+1)^12 = aω^2 +bω +c…④