解答の都合上問い⑴から解かせてもらいます。
⑴
問題文から
a-2b=mk-①
b=nk -②（m,nは自然数）
とおける。ここで式②を式①に代入して
a-2nk=mk
a=(m+2n)k -③
よってaはkの倍数となるので、kはaの約数と言える。
⑵
式②及び式③について、a,bは互いに素より
k=1
と分かる。ここでa-2bとbが互いに素でない、すなわち2以上の最大公約数を持つと仮定する。このとき
a-2b=m=αt -①'
b=n=βt -②'（α,βは互いに素な自然数、tは2以上の自然数）
という式が立てられる。よって式②'を①'に代入して
a=(α+2β)t -③'
が得られる。ここで式②'と③'に注目すると、a,bは互いに素であるはずなのに以上の公約数を持つことになり、これは明らかに矛盾している。これはもともとa-2bとbが②以上の最大公約数を持つと仮定したことで発生した矛盾である。ゆえにa-2bとbは互いに素である。
すいません、自分の説明不足で235の(2)を解いて頂きたいです。
求める数をkとおくと問題文より、kは分数かつ15/14・k,18/35・kがいずれも自然数となるので、
k=14/15・m (mは自然数かつ15の倍数でない）
k=35/18・n (nは自然数かつ18の倍数でない)
が成り立つ。したがって
14/15・m=35/18・n
14・18・m=15・35・n
2・6・m=5・5・n
12m=25n
m,nは自然数かつ12と25は互いに素なので
m=25s
n=12s (sは自然数)
よって
k=14/15・25s=70/3・s
kが最小の値を取るのは s=1 のときより
k=70/3・1=70/3
14分の15×25掛けても3分の70にならなくないですか？
15分の14に25をかけるんですよ。解答をよく見てください。
以上の公約数→2以上の公約数
で訂正しておいてください