Question

いっしー

公式
r・nCr =n・n-1Cr-1
を使うようなのですがよくわかりません💦
ご教授願います。

アア) 自然数々に対して, 次の和を求めょ・
(G⑬) 24Cs十34Caエ…十zzCz
⑱ 1.2Ci+2・34Ca寺3・44Caキ…二み*(z十1。Cz

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

ⅰ．
与式=n([n-1]C₀+...+[n-1]C[n-1])=n×2ⁿ⁻¹
ⅱ．
n=k=2,...,nのとき，
k(k+1)[n]C[k]
=k(k-1)[n]C[k]+2k[n]C[k]
=k(k-1)×n!/((n-k)!k!)+2k×n!/((n-k)!k!)
=n(n-1)×(n-2)!/(((n-2)-(k-2))!(k-2)!)
+2n×(n-1)!/(((n-1)-(k-1))!(k-1)!)
=n(n-1)×[n-2]C[k-2]+2n×[n-1]C[k-1]
∴与式=Σk(k+1)×[n]C[k]
=n(n-1)×Σ[n-2]C[k-2]+2n×Σ[n-1]C[k-1]
=n(n-1)×2ⁿ⁻²+4n×2ⁿ⁻²
=n(n+3)×2ⁿ⁻²
n=1のときも
1×(1+3)×2¹⁻²=1×2×₁C₁
より成り立つ．