Question

ゲスト

f(x,y)=(x-y)/(x+y)とする．
lim(y→0){lim(x→0)f(x,y)}を調べよ．

∀ε>0,y=t(t≠0),δ=|t|ε/2とする．
d((x,t),(0,0))=x
0<d((x,t),(0,0))<δより，
0<x<δ
|f(x,t)-(-1)|=|(x-t)/(x+t)+1|=|2x/(x+t)|<2δ/|t|=ε
∴ lim(x→0)f(x,y)=-1
lim(y→0)-1=-1を示す．
∀ε>0をとる．
|-1-(-1)|=0<ε

これで合ってますか？
違っていたら訂正お願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

おおよそあっていますが、少し変です
f(x,y) はxとyの二変数関数ですが。
lim lim f(x,y)
y→0 x→0
を考えている場合xとyは別々に極限をとるため、実質的には一変数関数の極限です

具体的には
「 d((x,t),(0,0))=x
0<d((x,t),(0,0))<δより，」
の二行が不要です
「 |x-0|<δ のとき，
|f(x,t)-(-1)|=|(x-t)/(x+t)=⋯
というように書くのがよいです

また、x>0 という条件はどこから出てきましたか？xはマイナスの値も取りうるはずです

ゲスト

回答ありがとうございます。

不要と言われた箇所がx>0の理由を示しています。
また、定義に従えば、その箇所は要ると思います。
なお、関数の話なので一次でも二次でもどちらも同じと言われました。

貴方が回答してくれた時点で課題は提出してしまったので参考にはしませんでしたが、全問正解で気分が良いのでBAに選ばせて貰います。

gößt

亀回答ですみません
正解になっていたならよかったですね
気になる所はありますが、もう済んだことなのでやめておきます