Question

ゲスト

(2)を教えて下さい

1     了
前  3 =

の|ピ

ぢ」 =ニ
問題9. 関数 /(*) が与え られた等式を満たすことを示せ。

(1) 7(z) = sinァ
(1-z2) "すう9(?) (20二 1)z7"10(⑫) 7の(e) =ニ0

(ヵ eR)
とント: (?), "(<) の関係は?

og = 計@-D"
(z2-1)7(z)二2zア(?) -x(み十1)7(Z) = 0

(x eR)
ヒント: 9(?) = (2ー1)" と の(<) の関係は?

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

g'(x)＝2nx(x²-1)ⁿ⁻¹ より
(x²-1)g'(x)＝2nxg(x)
両辺xでn+1回微分すると
(dⁿ⁺¹/dxⁿ⁺¹){(x²-1)g'(x)}＝(dⁿ⁺¹/dxⁿ⁺¹){2nxg(x)}
ライプニッツの公式より
(左辺)
＝(x²-1)•(dⁿ⁺¹/dxⁿ⁺¹){g'(x)}+(n+1)•2x•(dⁿ/dxⁿ){g'(x)}+{n(n+1)/2}•2•(dⁿ⁻¹/dxⁿ⁻¹){g'(x)}
＝(x²-1)•(dⁿ/dxⁿ){g"(x)}+2(n+1)x•(dⁿ/dxⁿ){g'(x)}+n(n+1)•(dⁿ/dxⁿ){g(x)}
＝(x²-1)f"(x)+2(n+1)xf'(x)+n(n+1)f(x)
(右辺)
＝2nx•(dⁿ⁺¹/dxⁿ⁺¹){g(x)}+(n+1)•2n•(dⁿ/dxⁿ){g(x)}
＝2nx•(dⁿ/dxⁿ){g'(x)}+2n(n+1)•(dⁿ/dxⁿ){g(x)}
＝2nxf'(x)+2n(n+1)f(x)
したがって、
(x²-1)f"(x)+2(n+1)xf'(x)+n(n+1)f(x)＝2nxf'(x)+2n(n+1)f(x)
(x²-1)f"(x)+2xf'(x)-n(n+1)f(x)＝0