AP=AQが分かっていれば解けたも同然なのですが...
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三角形AORと三角形AOQに注目するとORとOQは円の半径なので等しい
三平方の定理からAR^2=AO^2-OR^2=AO^2-OQ^2=AQ^2がいえ, AR=AQ
同様にしてBR=BP[三角形BORと三角形BOP], CP=CQ[三角形COPと三角形COQ]がいえる.
三角形ABCの3辺の長さから
AB=AR+BR=AR+BP=6, BC=BP+CP=8, AC=AQ+CQ=AR+CP=7
以上から
AB+AC=2AR+BP+CP=6+7
2AR+(BP+CP)=13
2AR=13-8⇔AR=2.5
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内接円と三角形の関係を利用して求める問題です.
まずはその概念が直接関わる道具の中で最も有効なものを探すのが自然でしょう.
チェバの定理(の逆)は円とは関係なので順位的には後回しというわけです.
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