Question

ゲスト

よろしくお願いします。
図なども有るとありがたいです。

問題 2.38  メーっ の:イー クについて, 次のことを証

(1) 9o了 が単射ならば,了 は単射である.
(2) 9o了 が全射ならば, 9 は全射である.
(3) も 9 も単射ならば, 9oげ7 は単射である.
(④) 了 も 9 も全射ならば, go7 は例射である.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねけう

(1)fが単射でなかったと仮定する。(背理法)つまり、あるx,y∈Xが存在してx≠yだがf(x)=f(y)となる。ここで、g○fについてxとyを考えるとg○fの単射性から
g○f(x)≠g○f(y)、つまりg(f(x))≠g(f(y))となる。しかし、このときgは写像ではなくなってしまう(行き先が二手に分かれるから) よって、fは単射

(2)仮定から、z∈Zに対しあるx∈Xが存在して、
z=g○f(x)=g(f(x))となる。ここで、f(x)∈Yである。

(3)(4)はほぼ自明なので、省略

ゲスト

(3).(4)はどうゆうことですか？

ねけう

(3)(4)は当たり前すぎて書かなかったのですが、一応書きます

(3)x,y∈X x≠y ⇒ f(x)≠f(y) (fの単射性)
⇒ g(f(x))≠g(f(y)) (gの単射性)

(4)∀z∈Z,∃y∈Y s.t. z=g(y) (gの全射性)
∀y∈Y,∃x∈X s.t. y=f(x) (fの全射性)
よって、∀z∈Z,∃x∈X s.t. z=g(f(x))