まず、
x³-1＝(x-1)(x²+x+1)
と因数分解出来る。
P(x)＝(x²+x+1)Q(x)+x+1を
P(x)＝(x²+x+1)(x-1)Q’(x)+R(x)
⇒ P(x)＝(x³-1)Q(x)+R(x)
⇒R(x)が余り。
に変形するために
Q(x)＝(x-1)Q’(x)+a
と表す必要がるから
(x-1)で割った。
なるほど、、もう一回やり直してみますありがとうございます😊
回答
P(x)=(x^2+x+1)Q(x)+x+1
P(x)をx^3-1=(x^2+x+1)(x-1)で割った余りを知りたいわけですね.
最終的にはP(x)=(x^2+x+1)(x-1)R(x)+ax^2+bx+c[3次式で割った余りは2次式以下ですね.]の形を目指しているわけです.
そこで
P(x)=(x^2+x+1){(x-1)Q'(x)[(x^2+x+1)(x-1)の形をつくるためにQ'(x)を作る]+a[結果的にQ(x)を1次式で割った余りなので定数]}+x+1
というわけでQ'(x)を設定すれば上手く解けると看破しているわけです[結果からの推測です].
***
[別解] 思いつきにくければこのように解いてもいいでしょう.
P(x)を3次式x^3-1で割るとa,b,cをある実数として2次式ax^2+bx+cと書けます. 商をQ(x)とすると
P(x)=(x^3-1)Q(x)+ax^2+bx+c
=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+ax^2+bx+c
=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+a(x^2+x+1)+(b-a)x+(c-a)
=(x^2+x+1){(x-1)Q(x)+a}+(b-a)x+(c-a) [x^2+x+1で割った商と余りが分かる形に変形する]
P(x)をx^2+x+1で割った余りはx+1なのでb-a=1, c-a=1⇔b=cかつb=a+1
またP(x)を(x-1)で割った余りは11なので剰余の定理から
P(1)=a+b+c=11
したがってa+(a+1)+(a+1)=11⇔a=3, b=c=3+1=4.
すなわちP(x)を(x^3-1)で割った余りは3x^2+4x+4
ありがとうございます、質問です！
一個目の赤線は、どうなっていますか？かっこが多くてわからなかったです汗
何を表しているのですか？
二個目の赤線はどう展開？したらそうなったのでしょうか。
すみません、よろしくお願いします😣
1個目はノートか計算メモにしっかり書きうつしてください. 画面を眺めているだけでは何も分かりませんよ.
***
意味が分かるように行を変えると
P(x)=
(x^2+x+1){(x-1)Q'(x) [(x^2+x+1)(x-1)の形をつくるためにQ'(x)を作る]
+a [結果的にQ(x)を1次式で割った余りなので定数]}
+(x+1)
***
2個目の赤線は
ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)+px+q
が恒等式となるようなp,qを定めると考えればよいでしょう.
xについてb=a+p, 定数項についてc=a+qなのでp=b-a, q=c-a
私が脳内で行った計算は
ax^2=a(x^2+x+1)[これが欲しい]-a(x+1)[要らないものは外に出そう]
ax^2+bx+c[bx+cを足す]=a(x^2+x+1)-a(x+1)+bx+c=a(x^2+x+1)+(b-a)x+(c-a)
です. 慣れれば暗算で出来ます.
なるほど、紙に書いてみますありがとうございます
x+x+1にx−1を掛ける形を作ることでx3乗-1を作っ出るんじゃないですかねそれでx-1って情報からaを求めてそれから答え出してる
なるほど、、難しいですね、ありがとうございます
疑問は解決しましたか？
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ありがとうございます！
質問なのですが、赤線のところで、前に(x^2+x+1)はいらないのでしょうか？？