we think ~ が how many social contacts を修飾していると考えて訳しているようですね。
ここではhow many social contactsはhaveの目的語です。
think that ~ の中にある疑問詞はthat節の外に出すというやつで、
You think that he bought a book.
→ What do you think that he bought?
(彼が何を買ったと思いますか?)
と同じパターンです。このように考えて訳してはどうでしょう。
それから、contacts はここでは「つながり」でしょう。