(2)解き方教えてください

Question

(2)解き方教えてください

LUX SIT · Answer

京大の問題ですから(1)の解法がヒントになっていることが多いです.
問題自体はいたって標準的と思いますが,　組み合わせ論的な考え方を苦手とする人が多いので手がつかないのでしょうね.
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(1)0<a_0<b_0, 0<a_1<b_1[昇順: 並び替え]ならば,
不等式(b_1^2-a_1^2)(b_0^2-a_0^2)/(a_0^2+1)(b_0^2+1)>0が成り立つ.
この不等式は
{(b_1^2-a_1^2)/(a_0^2+1)}-{(b_1^2-a_1^2)/(b_0^2+1)}>0 [部分分数分解]
⇔{b_1^2/(a_0^2+1)}+{a_1^2/(b_0^2+1)}>{a_1^2/(a_0^2+1)}+{b_1^2/(b_0^2+1)}
と同値変形出来る. 以上より証明された.□
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(2)を解く鍵は{x_k}の大小関係が与えられていないことに注目することです.
直感的に[単調性から]昇順か降順のいずれかが最小値を与えるだろうと予測がつくわけですが, それを証明しないといけません.
そこで{x_k}の単調性を崩す一つの関係を仮定して, (1)の不等式をうまく利用する方法を考えるわけです.
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(2)　自然数列{x_k}が単調増加でないと仮定する. すなわち1≦i<j≦nなるi, jがあってx_i>x_jを満たしていると仮定する.
自然数列{x_k}でx_iとx_jを入れ替えた自然数列を{y_k}として定義すれば,
Σ[k=1->n] x_k^2/(k^2+1)-Σ[k=1->n] y_k^2/(k^2+1)
={x_i^2/(i^2+1)}+{x_j^2/(j^2+1)}-{y_i^2/(i^2+1)}-{y_j^2/(j^2+1)}
={x_i^2/(i^2+1)}+{x_j^2/(j^2+1)}-{x_j^2/(i^2+1)}-{x_i^2/(j^2+1)} [並び替え]
ここでi<j, x_j<xiなので(1)の不等式でa_0=i, a_1=j, b_0=x_j, b_1=x_iとすることにより
Σ[k=1->n] x_k^2/(k^2+1)-Σ[k=1->n] y_k^2/(k^2+1)>0
⇔Σ[k=1->n] x_k^2/(k^2+1)>Σ[k=1->n] y_k^2/(k^2+1)
がいえる. したがってΣ[k=1->n] x_k^2/(k^2+1)を最小にするのは{x_k}が狭義単調増加するときである.
このときx_k=kとなるので
Σ[k=1->n] x_k^2/(k^2+1)=Σ[k=1->n] k^2/(k^2+1)=Σ[k=1->n] 1-{1/(k^2+1)}=n-Σ[k=1->n] 1/(k^2+1)
n≧2のとき
Σ[k=1->n] 1/(k^2+1)=1/2+Σ[k=2->n]1/(k^2+1)<1/2+Σ[k=2->n]1/(k^2-1)
=1/2+(1/2)Σ[k=2->n] {1/(k-1)-1/(k+1)}
=1/2+(1/2)[(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/6)+…+{1/(n-2)-1/n}+(1/(n-1)-1/(n+1))
=1/2+(1/2)[(1+1/2)-{1/n + 1/(n+1)}]
<1/2+(1/2)(3/2)=5/4=25/20<32/20=8/5
以上の結果をまとめて
n≧2のとき
Σ[k=1->n] x_k^2/(k^2+1)>n-8/5.
またn=1のとき
1^2/(1^2+1)=1/2>-3/5=1-8/5
なのですべての実数nについて成り立つ.　これより与えられた不等式は示された.□
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もちろん後半は区分求積法を使って処理してもいいですが, 円周率πが答えに出てくるのでπ<3.2が必要になります.
これを自明としてよいのか, 示すべきなのかは悩ましいところです.　それを避けるために上のような不等式の評価で解答しました.