Question

3101

どうして相加相乗平均で範囲が求まるんですか？？

ニーーーニーーニーーバV

   数9ニー6-がー6-2"キ4で+14について
(⑪ が+2でのとる値の男環を求めよ。     @ 7

( 相補生交を全2.

り

  
 

                                                                                                                                    
  

も*- 6も+14タ>入
も"- 6て (2 >0

Answer 1

Don

t=2^x+2^(-x)･･･①とおきます。
まず、相加相乗の不等式ではtの取りうる値の範囲は求まりません。つまり、そのノートに書かれていることは嘘です。貴方が疑問を持つのは至極当然です。学校の教師ですらこの嘘を教えています。相加相乗の不等式では式の最小値を求めることしか出来ません。では、どうすればいいか。
1つ目は、①のグラフをt-x平面に図示して視覚的に値域を確認する方法ですが、これには数3の微分が必要なため、ここでは割愛します。
2つ目はxの存在条件を考える方法です。①においてtはxの関数だから、tが値として存在するためには、元になるxが存在している必要があります。つまり、①をxの方程式とみたときに、実数解xを少なくとも1つ持つようなtの条件が、まさしくtの取りうる値の範囲になるということです。
実際にその条件を考えてみましょう。
まず、簡単のためにX=2^x(＞0)とおきます。
すると ① ⇔ t=X+1/X ⇔ X^2-tX+1=0･･･②
②の軸はX=t/2で、①よりt＞0であることを考えると軸は常に正。よって②がX＞0の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ条件は(判別式)≧0 ⇔ t^2-4≧0 ⇔ t≦-2,2≦t
t＞0だからt≧2･･･(答)
これで晴れて厳密にtの取りうる値の範囲が求まりました。結局は相加相乗だけを使ったときと同じなんですけどね。
しかし、数学においては過程は結果よりも大事です。相加相乗のみを使った答案では最大値の有無が分からないので、(2)以降の答案においても論理的正確さを欠いてしまうことになってしまいます。仮に答えがあっていたとしても、論理的正確さが足りない答案は、採点官によっては大減点を食らいかねません。天下の赤チ〇ートも相加相乗だけで済ましていることを考えると、貴方が今後学校の試験でこのような理由で原点を食らうことはないかも知れませんが、難関大学の教授がこれを許してくれる保証は何処にもありません。今のうちから論理的正確さにこだわっておくことで、入試で減点されることも減るし、何より数学的思考力が格段に付くようになります。こういうのは面倒くさがらずにきちんとすることを勧めます。

存在条件