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ベクトル方程式は式だけではなく, 図形との対応を考えることが大事です.
あえて全部解いてみます[(2)は少し難しいので後回しにします].
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(1)|p+a|^2={2|a|}^2⇒|p-(-a)|=2|a| (絶対値は正であることに注意しよう).
点Pは点Aと原点Oに対称な点を中心とし半径2OAとする円を表します.
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(3)(p-a)・(a-b)=0
これはAPとBAが直交していることを意味します.
すなわち点Pは点Aを通り, 直線ABに垂直な直線を表します.
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(4)(2p-a-b)・(a-b)=0⇔(p-(a+b)/2)・(a-b)=0
(a+b)/2は点Aと点Bの中点を表します. (3)との類似から
点Pは線分ABの垂直2等分線を表すことが分かります.
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(5)(p-a)・(p-b)=0
APとBPが直交するわけですから, 点PはABを直径とする円周上にあります[円周角の利用, タレスの定理].
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(6)2a・p=|a||p|
ベクトルaとベクトルpのなす角をθとすると, 内積の定義から
2|a||p|cosθ=|a||p|⇔(2cosθ-1)|a||p|=0
p≠0のとき, cosθ=1/2⇔θ=π/3(or 60°), p=0のとき原点を表すが, これは前者に含まれる.
以上から点Pは原点Oを通り, 直線OAに対して時計回りにπ/3の角をなす直線.
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(2) これはアポロニウスの円と呼ばれるものです. まずは式で解いてみます.
|p-a|=2|p-b|の両辺を平方すると|p|^2-2p・a+|a|^2=4{|p|^2-2p・b+|b|^2}
3|p|^2+2(p・a-4p・b)=|a|^2-4|b|^2
|p|^2+2p・((a-4b)/3)=(|a|^2-4|b|^2)/3
|p-(4b-a)/3|^2=|2(a-b)/3|^2
⇒|p-(4b-a)/3|=|2(a-b)/3|.
これだと図形的な意味が掴みづらいですよね.
そこでAP=2BPとみると中心の位置と直径の大きさがよく分かります.
つまりABを2:1に内分する点(a+2b)/3, ABを2:1に外分する点-a+2bを直径とする円.
その中心は[{(a+2b)/3}+(2b-a)]/2=(4b-a)/3, 半径は|{(4b-a)/3}-{(a+2b)/3}|=|2(b-a)/3|=|2(a-b)3|
ですから, 上で求めた計算結果と一致します.
以上からABを2:1に内分する点とABを2:1に外分する点を結んだ線分を直径とする円.
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非常に抽象的な場合は座標をうまく設定して計算するのも手です.
これはかつての京大入試でよく問われた手法でした.
ありがとうございます！
質問後に⑶⑷⑹は解けたのですが、⑵だけが分からなかったので本当に助かりました(。'-')(。._.)