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通過領域の問題ですね。
下線部の意味を理解するために、まずα^2+β^2+αβ≦1という条件は一旦忘れてください。(^2は2乗の意味です)
なぜ下線部の条件が出てきたのかについてですが，色々実験してみるとわかってきます。
まず大前提として領域は(α+β，αβ)の点が色々動くことによって作り出していることを意識しておいてください。
例えば「求める領域上に(0，0)という点はあるか」という問いを考えてみると，これはあります。
なぜなら領域上に(0，0)という点があるということはα+β=0，αβ=0になったということですが，これは実際にα=0，β=0とすれば良いからです。
では同様に「求める領域上に(0，2)という点はあるか」という問いを考えてみるとこれはありません。
なぜならα+β=0，αβ=2の両方を満たす“実数”α，βがないからです。(この実数というのがポイントです)
実際，解と係数の関係からα，βを解に持つ2次方程式は t^2-0*t+2=0 つまり t^2+2=0 ですが，この解はt=±√2i となりα，βが実数となっていません。
だから 領域上に(0，2)という点はない と解釈します。
ではα+β=xとαβ=yと値を決めたとき，α，βが最低限実数となる条件は何かを考えてみると，それは先ほどと同様にα，βを解にもつ2次方程式が実数解を持つ条件を考えてあげればよいわけです。
つまり解と係数の関係からt^2-xt+y=0となる2次方程式の判別式D≧0とすればいいわけですね。
これが下線部の意味になります。
なかなか取っ付きどころが無く少々慣れのいる問題ですが，旧帝大をはじめとする難関大では時折出題されている問題なので，チャートなどで類題を探して練習してみるといいと思います。
ありがとうございます┏○ﾍﾟｺｯ