Question

ら

1と3教えてください

右の図のように。 ABニBC=語 0A=9cmの
正四角雛0A BCDがある。 辺0B上にOp=3cm
となる点P をと 辺0 Dの中点をQとする。 まだた。
線分PDと面ACQとの交点をRとする。

このとき, 次の問いに符えなさい。

(%) 正四角氏OーABCDの体積は。  三角鑑C-PDQ
の体積の何倍か求めなさい。

位) 線分PRの長さを求めなさい。

(3) 三角雛PーACQの体積を求めなさい。

Answer 1

ゲスト

(1)12倍
(3)9√7 cm³

これであってますか？

ら

あってます！
どうやってときましたか？

ゲスト

(3)
(2)で線分PRを求めていると思いますが、
PR=PD×½, 点Rは面ACQに含まれるので
面ACQを底面とした三角錐D-ACQと三角錐P-ACQは
底面が共通、高さが等しいので体積も等しくなります。
三角錐D-ACQは△ACDを底面とした三角錐Q-ACDと同じなので
三角錐Q-ACDの体積を求めればそれが答えになります。

△ACD＝6×6×½＝18
BDに点Q、点Oからそれぞれ垂線をおろし、交点をS, Tとすると
OQ:QD=1:1から
OT:QS=2:1

OTは三平方の定理から3√7, よってQS=(3√7)/2
三角錐Q-ACD=△ACD×QS×⅓
=18×(3√7)/2×⅓=9√7 cm³

ゲスト

(1)表記ミスがあったので貼りなおしました。

QとDがOD上にあり、PがOB上にあることから、
平面OBDで切り出して考えます。
平面OBDで正四角錐O-ABCDを切断すると
底面がOBDの三角錐が２つ出来上がります。
A-OBDとC-OBDです。

△PDQは平面OBDに含まれるので
三角錐C-PDQは三角錐C-OBDと高さが同じになります。
あとは△PDQと△OBDの面積比を求めれば、
それが三角錐C-PDQと三角錐C-OBDの体積比になります。

OD:QD=2:1, OB:OP=3:1 なので
△PDQ＝△OBD×½×⅓＝△OBD×⅙

△OBDは正四角錐O-ABCDの½なので
三角錐C-PDQ=正四角錐O-ABCD×½×⅙

正四角錐O-ABCDは三角錐C-PDQの12倍となります。

ら

ありがとうございます！
3番って全体四角錐のの底面積の半分と高さも半分だから4分の1っていう計算でおけですか？

ゲスト

そうですね！そちらのほうが説明が簡潔明瞭ですね！

ゲスト

あと(1)に訂正があります。
誤:△OBDは正四角錐O-ABCDの½なので
正:三角錐C-OBDは正四角錐O-ABCDの½なので

ら

気づかなかったですw