Question

高校生

この公式が成り立つのはなぜか教えて欲しいです。

2本れアジ 潜
4のか

                                                                                                                                                                                                                                                                  
  
 

 

と7 際) ん(PA旨(402リ
e)-み(ce447rz(40 0てC)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

前提として1から100までの自然数のみで考えます。

n(A)は2で割り切れる個数
n(B)は3で割り切れる個数
n(C)は7で割り切れる個数　を表しているとします。

n(A∩B)は2と3ともに割り切れる数の個数＝6で割り切れる個数
n(B∩C)は3と7ともに割り切れる数の個数＝21で割り切れる個数
n(C∩A)は2と7ともに割り切れる数の個数＝14で割り切れる個数

n(A∩B∩C)は2と3と7ともに割り切れる個数＝42で割り切れる個数
をそれぞれ表しています。

n(A)には、2で割り切れるすべての数が入っていますので、この中には3で割り切れる数も7で割り切れる数も同様に入っているんです。
n(B)もn(C)も同様です。
だから、n(A)+n(B)+n(C)には、6の倍数、14の倍数、21の倍数がダブって数えてしまっていますので、それらを引いておかないといけないので、-n(A∩B)、n(B∩C)、n(C∩A)を引かなければいけないんです。

で、これらを引くと今度は、n(A∩B)、n(B∩C)、n(C∩A)の3つの集合すべてに含まれる2,3,7の公倍数である42の倍数までひかれてしまうので、n(A∩B∩C)を最後に補っておかないといけないんです。

いかがでしょうか。

高校生

そうだとは思ったんですが、
n(A∩B)、n(B∩C)、n(C∩A)を引いたとすると、この３つの中にはn(A∩B∩C)が被っている所も含まれているわけじゃないですか、
そうすると、n(A∩B∩C)を3回引いていることにはならないんですか⁇

高校生

いえ、ならないからこそ成り立つっていうのは分かってます。
n(A∩B)、n(B∩C)、n(C∩A)をそれぞれ引いたからといって同じ数というか、、重複というか、、それが起こらないのは分かっているんですが、いざこれを人に説明しろと言われてもできなくて、、、

きらうる

ベン図を作って、それぞれに区分けしてみました。
そうすると3つかぶっているところが全てひかれてなくなっていることがわかるかと思います。

高校生

ほんとですね！！！！
分かりやすい説明ありがとうございました。