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なす角を自由に定義することはかまいませんが、そもそも共通の定義がないわけですからその場合はどう定義したか、また a ⃗•b ⃗=|a ⃗||b ⃗|cosθ が成り立つかは述べる必要はあるでしょう。例えば、
「a ⃗=0 ⃗ または b ⃗=0 ⃗ の場合は a ⃗, b ⃗ のなす角をθ=0とする。このときも
a ⃗•b ⃗=0, |a ⃗||b ⃗|cosθ=0×1=0
より a ⃗•b ⃗=|a ⃗||b ⃗|cosθ が成り立つ」
などの文言を最初に挿入すればよいです。でもそうしたら結局ふつうに場合分けしているときと大差ない気もします
共通の定義とはどういうことでしょうか？
また、a ⃗•b ⃗=|a ⃗||b ⃗|cosθが成り立つかを述べる必要もあるのですか？
「a ⃗=0 ⃗ または b ⃗=0 ⃗ の場合は a ⃗, b ⃗ のなす角をθ=0とする。このときも
a ⃗•b ⃗=0, |a ⃗||b ⃗|cosθ=0×1=0
より a ⃗•b ⃗=|a ⃗||b ⃗|cosθ が成り立つ」
という断りですが、
「a ⃗≠0 ⃗ かつb ⃗≠0 ⃗ の場合は a ⃗, b ⃗ のなす角を0≦θ≦180とする。」
と組み合わせてしまえば、すべてのa ⃗ ，b ⃗についてなす角を0≦θ≦180とすれは問題ないのではないでしょうか？
裏紙に解いたので捨ててしまいましたが、不等式の証明で良く用いられる、大きい方から小さい方を引いて証明する方法です。
あるベクトルとゼロベクトルとのなす角は一般的に定義されていないという意味です。もっと噛み砕いて言えば教科書や参考書等に記述がないとも言えます
私の持っている教科書には「a ⃗=0 ⃗ または b ⃗=0 ⃗ のときは、a ⃗•b ⃗=0 と定める」と書かれていたので、ゼロベクトルの場合に a ⃗•b ⃗=|a ⃗||b ⃗|cosθ が成り立つかは初めから明らかとは言いづらいと思います
すべてのa ⃗ ，b ⃗についてなす角を0°≦θ≦180°とすれば問題ないというのがいまいちよく分からないです…。どのような問題をどのように解決したのでしょうか？
少し議論が散らかってしまったので、議論を整理して言い方を変えてみますと、そもそも場合分けをする理由は、ベクトルの内積が
a ⃗•b ⃗＝⎰|a ⃗||b ⃗|cosθ (a ⃗≠0 ⃗ かつ b ⃗≠0 ⃗ のとき)
⎱ 0 (a ⃗=0 ⃗ または b ⃗=0 ⃗ のとき)
と定義されているからです。場合分けして定義されているから自然と場合分けして問題を解くことになり、まとめて議論するならまとめられるように内積(というかなす角)を定義してあげないといけなくなります
解決したようでよかったです
左の２つと右の２つとで差がゼロ以上というのは具体的にどういう方法なのでしょうか？