✨ ベストアンサー ✨
高校生向けの解答ならこんな感じでしょうか
(1)
回転による重複を一旦無視して、
①②③
⑧■④
⑦⑥⑤
のように番号をふります
回転による重複を無視した場合の数はa×2, b×2, c×4を一列に並べる方法の総数に等しいので
8!/(4!2!2!)＝420
この420通りの中には、回転すると全て異なる配置になるものと一部同じ配置が生まれるものの二種類があります。それらを場合分けして回転による重複を考えます
(i)同じ配置が生まれる並び
これは180°回転したとき元と同じ配置になるものです。例えば
a b c
c■ c
c b a
つまり、向かい合う文字が一致するような配置になります。そのような配置の数は①〜④にa,b,c,cを並べる方法の総数に等しいので
4!/2!＝12
このような配置は回転したとき４つの異なる配置が得られるので、回転も考慮すると
12÷4＝3
(ii)全て異なる配置になる並び
残りの 420-12=408 個です。回転による重複を考慮すると
408÷8＝51
以上の２つを合わせて
3+51＝54(通り)
(2)
考え方は円順列と同じです。回転を考慮しない420通りのうち
(2-i)回転•裏返しにより同じ配置を得るもの
(2-ii)回転のみにより同じ配置を得るもの
(2-iii)裏返しのみにより同じ配置を得るもの
(2-iv)回転•裏返しにより同じ配置を得ないもの
に分けて考えます
(2-i)当てはまるのは
a c b
c■ c
b c a
のような配置です。２つのaを通る直線ないし２つのbを通る直線で裏返すと同じ形になります。回転•裏返しを考慮すれば配置はこの１つしかなく、回転•裏返しを無視することで４つの異なる配置が得られます
(2-ii) (1-i)で求めた12通りのうち4通りは(2-i)に入るので残りは8通りです。回転•裏返しにより4×2通りの異なる配置を得るので
8÷8＝1
(2-iii)裏返しの軸は全部で8本あります
例えば②と⑥を通る直線で裏返して重なる配置は、②と⑥、①と③、⑧と④、⑦と⑤が同じ文字になる場合であり、これは②〜⑤にa,b,c,cを並べる場合の総数に等しいので
4!/2!＝12
ただし、②,④にaとbを置く並びは(2-i)で既に求めているため除外して
12-2＝10
①と⑤、③と⑦、④と⑧を通る直線に関する裏返しも同様なのでそれらの総数は
10×4＝40
また、別の裏返しとして①と②、③と⑧、④と⑦、⑤と⑥が重なるようなものもあります。これは(2-i)に含まれる配置がないので
4!/2!＝12
同じような裏返し方は全部で4通りあるので
12×4＝48
よって(2-iii)全体としては
40+48＝88
これらの配置は回転すると８つの異なる配置を得ます
88÷8＝11
(2-iv)残りです。回転•裏返しにより8×2通りの異なる配置を得るので
(420-4-8-88)/16＝20
以上を合わせて
1+1+11+20＝33(通り)
で合ってますかね
カテゴリが大学生になってますが、群論の知識を使っていいならバーンサイドの補題を用いてもう少し見通しがよくなるかもしれません
高校生なら群論は分からないと思うので計算のみにしておきますが、
(1) (420+0+0+0+12+0+0+0)/8＝54
(2) (420+0+0+0+12+0+0+0+12+12+12+12+12+12+12+12)/16＝33
というように出せます
のんびり書いていたらお返事があったんですね
ベストアンサーありがとうございます(｀・ω・´)
答えはそれです。ありがとうございます