Question

ゲスト

この問題を教えてください🙏

ら曲線で囲まれた図形の面積
目標10分                               AEZず                                       折禁15分         |
反競線y

7 Zを正の定数とする。 2 つの放物線マニーデ2gx とッニ(メーの で囲まれた図形の面頂$を%      137

よ。                                     (2 ま
1       本

   っつの放物辺の交点の座標を @, 8 (@くの) とし, 解と係数の関係を利用じて,# 一との値を求める。

Answer 1

LUX SIT

2つの放物線の交点のx座標は2次方程式-x^2+2ax=(x-a)^2⇔2x^2-4ax+a^2=0で与えられる.
このx座標を小さい順にα, βとすると, 解と係数の関係からα+β=2a, αβ=a^2/2となる.
このときβ-α=√{(α+β)^2-4αβ}=√2aである.
区間α≦x≦βで(x-a)^2≦y≦-x^2+2ax [関数の大小関係を述べます]なので, 面積Sは
S=∫[α->β]{-x^2+2ax-(x-a)^2}dx
=(-2)∫[α->β](x-α)(x-β)dx [解と係数の関係を使います]
=(-2)∫[α->β]{(x-β)+(β-α)}(x-β)dx　[計算が簡単になるよう工夫しよう]
=(-2)∫[α->β]{(x-β)^2+(β-α)(x-β)}dx
=(-2)[{(x-β)^3/3}+{(β-α)(x-β)^2/2}]|[α->β]　[∫(x-a)^ndx=(x-a)^(n+1)/(n+1)+C]
=(-2)[{(α-β)^3/3}+{(β-α)(α-β)^2/2}]
=(β-α)^3/3 [結果は|a|(β-α)^3/6になります. 記述問題ではこのように導出しましょう.]
=(√2a)^3/3=2√2a^3/3.
と求まる.

LUX SIT

[ノート] 平行移動を利用して簡単化する方法
(-2)∫[α->β](x-α)(x-β)dx
=(-2)∫[α->β](x-α){(x-α)-(β-α)}dx [下の平行移動に備えて(x-α)に揃える.]
=(-2)∫[0->β-α]x^2-(β-α)xdx [x軸方向に-αだけ平行移動させる. 領域全体をスライドするので面積は変わらない.]
=(-2)[(β-α)^3/3-(β-α)^3/2]
=(β-α)^3/3
とより簡単に求まります.