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いくつか考え方がありますが
①homeは副詞として使われることが多く副詞は文の要素(svoc)にはならないから
②arriveは自動詞だから。仮にhomeが名詞として使われているならば自動詞arriveの後に名詞を続けるならばarriveed at homeのように前置詞が必要です。
arriveは代表的な自動詞の一つなのでarriveが使われている時点で第一文型と判断して問題ないです
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