Question

τ

次の事実の証明方法がわかりません.
どなたかご教授ください.

‪Aを可算集合とすれば, 次の条件(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)を満たすAの部分集合族(A_n)_n∈ℕが存在することを証明せよ.‬

‪(ⅰ)すべてのnについてA_nは可算集合である.‬
‪(ⅱ)A=∪[n=1, ∞]A_n.‬
‪(ⅲ)n≠n'⇒A_n∩A_n'=∅.‬

集合族 濃度

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

Aは可算なので全単射 f:ℕ→A が存在します
あとはℕについて(i)(ii)(iii)を満たす部分集合族(B_n)を作れれば A_n=f(B_n) とすることで答えを得ます
B_nの作り方は色々ありそうですが、これも解説した方がいいですか？

τ

正にその(B_n)の作り方で手が止まってました！
よければその解説もよろしくお願いします(*' ')*, ,)

gößt

素朴な方法としては、ℕとℕ×ℕの濃度が等しいことを利用する手があります
ℕ={1,2,3,…} とし、ℕ×ℕを
　(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), ⋯
のように並べていけばℕとの全単射が構成できます
ℕ×ℕは
　C_n={(n,k)∈ℕ×ℕ:k∈ℕ}
などとすれば(i)~(iii)を満たす部分集合族(C_n)が作れるので、ここから(A_n)が構成できます

あるいは少しテクニカルですが、
　B_n={2ⁿ⁻¹(2k-1)∈ℕ:k∈ℕ}
と置くとダイレクトに(B_n)が構成できますね

τ

ありがとうございます！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)