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a(n)で数列のn項目を表すこととします。つまり、a(1) =1です。また、Σ(k=1,n)でkが1からnまでの和を表すとします。
この類の問題は階差数列をとって考えると解けます。b(n) =a(n+1)-a(n)とおくと、b(n)=2n-3を導けます。また、a(n+1) =a(n)+b(n)…(1)は同じことを意味しています。ここで、(1)の()内を一つ減らす(nをn-1に置き換える)と、a(n) =a(n-1)+b(n-1)になりますが、これを(1)に代入して、a(n+1)=a(n-1)+b(n-1)+b(n)となります。(このあたりでn≧2と言っておいたほうがいいかもしれません。)同様の操作を繰り返すと、a(n+1) =a(1)+b(1)+b(2)+…+b(n-1)+b(n) =a(1)+Σ(k=1,n)b(k) =1+Σ(k=1,n)(2n-3) =1+n(n+1)-3n =(n-1)^2が求まります。よって、nをn-1に置き換えて、a(n) =(n-2)^2となります。
b(n) =a(n)-a(n-1)とする方法もありますが、やりやすい方を選ぶといいでしょう。ただし、こちらの方法の場合は、必ずn≧2と表記してください。
一般項が求まらなそうな数列に出会ったら、隣り合う項の差をとって階差数列にしてみると何か見えるかもしれません。
