Question

んにゃ

Pの求め方、答えの具体例1つを教えて頂きたいです。

線形代数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

Ap₁=0, Ap₂=0 となる一次独立な p₁, p₂ の取り方は問題ないかと思います( ・∇・)

<p₃>
Ap₃=p₃ ⇔ (A-E)p₃=0
なのでまず A-E を計算します
　　　[ 0 1 1 1 ]
A-E＝[ 0 -1 1 0 ]
　　　[ 0 0 0 0 ]
　　　[ 0 0 1 -1 ]
より、p₃ として例えば (1, 0, 0, 0) が取れます

<p₄>
Ap₄=p₃+p₄ ⇔ (A-E)p₄=p₃
なので右辺の連立方程式を解きます
　[ 0 1 1 1 ][x]　[1]
　[ 0 -1 1 0 ][y]＝[0]
　[ 0 0 0 0 ][z]　[0]
　[ 0 0 1 -1 ][w]　[0]
より、p₄ として例えば (0, 1/3, 1/3, 1/3) が取れます

(別解)
Aの最小多項式は X(X-E)² であり、p₃, p₄ に必要な条件は
　(A-E)p₃=0
　(A-E)p₄=p₃
なので
　A(A-E)p≠0
となるpを取れれば
　p₄=Ap, p₃=(A-E)p₄ (=A(A-E)p)
とすることで条件を満たします
　　　　[ 0 0 3 0 ]
A(A-E)＝[ 0 0 0 0 ]
　　　　[ 0 0 0 0 ]
　　　　[ 0 0 0 0 ]
なので、p=(0,0,1,0) とすれば
　p₄=(1,1,1,1)
　p₃=(3,0,0,0)
が得られます。個人的には方程式を解かなくていい分こっちの方が楽な気がします

んにゃ

丁寧にありがとうございます。理解することが出来ました。

gößt

それは良かったです