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よく読めていないかもしれませんが
この方針では証明できないと思います
Ｓnはたかだかn個以下の有限個の値しか取らないはずなので
いくらでも大きくなることはないですから
あなたの意図が完全にはわからないのですが
例えば常に2とか3とかになる
定数関数では
上手く説明できますか？
一つしか値がないから
Ｓmは必ず増加するとは言えないと思います
f(x)はf(k)=kが存在しないという仮定の元での関数なので、定数関数だとf(2)=2等になってしまって当てはまらないと思います。
その仮定の元ではSmが必ず増加すると思ったのですが、f(x)をそう仮定するのはやめたほうがいいんでしょうか？
うーん
それなら
Ｓmがひとつも一致しないと仮定すると
n個の異なる値を取る
nまでの間に異なる数はn個しかないので
つねにＳm=mとなり矛盾する
という方針ですか？
いえ
Sm=mになることに矛盾はないです。
仮定はf(x)のことなので。
Smは単調増加するから、Smがいくらでも大きくなるから有限になることに対して矛盾だと考えていたんですがどうでしょう？
日本語下手だったらすみません。
認めて欲しいというか間違っているならそこを明確に教えてほしいというだけです。
Smがいくらでも大きくなるのは、解答にある(ⅰ)(ⅱ)から数学的帰納法で求まっていると思ったんですがどうでしょう。
背理法ですから有限個でもいくらでも大きくなることから矛盾なのでそこがおかしいのは当然だと思ったんですが。
できれば私の解答を読み返していただきたいです。
お願いします。
読み返しましたが
Ｎは有限個の集合なのに
Ｓmはいくらでも大きくなる
というのは
明らかにおかしいです
nより大きくなるとかなら少しは通じますが
いくらでも大きくなるという推論が間違いです
私なら
f1とfnが1とnでないなら
1<f1、n<fn
すなわちk=1のときfk-k>0
k=nのときfk-k<0
とかにして中間値の定理を荒っぽく適用して
fk-k=0
になるkが存在する
とかやると思います
あとは先生にアドバイスしてもらってください
背理法はある間違っているだろうと予想される仮定をした上で「明らかにおかしい」という矛盾を導いてその仮定を否定する論法だと考えていたんですが。
間違っている仮定の上でのSmがいくらでも大きくなっておかしいのは普通ではないんですか？
あと、仮定の上でのSmがいくらでも大きくなるという私が推論する過程において間違えが有れば指摘していただければ幸いです。
過程があっているというならSmがいくらでも大きくなる推論の結果だけを否定することはできないと思ったんですが。
だから
有限個しかないのに
いくらでも大きくなる つまり無限大に行く
って書いたから
そこがダメだって言っています
fmを次のＳmにするようですが
fはイコールつきの不等号の関係なのに
Ｓmでは不等号がないと仮定するということは
fmがイコールなしの不等号の関係だと仮定したのと同じですよね
それがそもそも
仮定として意味がないです
この条件を成り立たせるためには
少なくとも一箇所fmがmを飛び越えるところがあるわけです
一箇所でもあれば良いので
それで
飛び越えるところがあるなら
fの値の範囲は少なくともn+1個になり
それが1からnまでという前提に矛盾するから
とか
そういう背理法はアリだと思います
その部分をなんと書き直せばいいのかおしえていただければ幸いです。
等号が途中で消えるのは、仮定がf(k)=kが存在しないというものなので、S_(l+1)=f(S_(l+1))がありえないためにS_(l+1)<f(S_(l+1))というだけです。なので、問題においてf(k)=kが存在することを示していたから、背理法を使おうとしてf(k)=kが存在しないことを仮定して自動的に等号が消えただけなので問題はないと思ったのですが？
また、f(S_l)=S_(l+1) S_1=1なので、S_mがNすべてになるというわけではなく一部を通っていて、Nすべてにおいてi≦jのときf(i)<f(j)が成り立つわけでもないので問題ないと思いますが。
中間値の定理を使うらしいですが、連続ではないのに成り立たない気が
すいません
長い時間アドバイスありがとうございました。
とりあえず明日先生や友達にでも聞いてみます。
あなたの書きたかったことが
やっとわかりました
全部調べなくても
必要なとポイントさえ押さえれば
飛ばし飛ばしで行こうというわけですね
でどこまでも
直前の値より大きいのを続けていくと
fの値がnより大きくなってしまう
と言うことでしょう？
それはそうです
でもどこまでもは大きくならない
小さければ
n+1までで収まります
それでも前提から外れるので
矛盾と指摘できますけどね
問題はいくつかあって
飛ばしながら調べていって
どれが最後のf5なのかわかるのか
これが一番大きな問題ですね
あとは
背理法を使うなら
最後のfの値がn+2とかになってしまうことは
言えるのか
なまじ飛ばしながらだとどれが最後のfなのか言えないのではないか
というのが気になります
いずれにしてもＳは
上に有界になりますので
いくらでもは増えません
そうやって考えるんですか。
ありがとうございます。
自分の解答はめんどくさく考えすぎて最後の論証部分がどうにも書けない感じになったってことですね。
これが正解かは
わかりません
抜けているものがあるかもしれません
あなたのやり方も全部ダメではないと思います
ただ仮定の中で
Ｓmは等号なしの不等号で仮定するのではなく
むしろそれは結論というか
推論の中で出てくるものだと思います
それと
飛ばし飛ばしで行っても良いのですが
n個の要素で飛ばしながら行く必要性は
あまりないと思います
道具立てに凝ってしまった感はありますね
等号なしの不等号になるのは仮定と言うか予想しただけな気が
無駄に複雑に考えず、分かりやすい答案を作れるように精進します。
確かにそうですね。
有り難う御座います。
最後の部分
仮定においてSmはいくらでも大きくなるが、Smは有限値nまでの値しかとらないことに矛盾するので
と直せばいいんでしょうか？