Question

Sa

数IIです。(2)(3)の置き方がわかりません。
解説お願いします。

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[TS| [ak訂版商テチャニト数学 PRACTICP]
次の不等式を証明せよ。また, ③ の等号が成 ” 立つのはとのょうなときか

Q) g>ー2. ゥ>上のとき 365一2ァ<一

3                                                                                                           J
(③) 2ぇ2

(② 4*?3>4*                                     3*ッー2ア

Answer 1

LUX SIT

不等式の問題は計算用紙での準備が必要です. ただ差をとったり, 平方の差をとる作業と思ってはいけません.
***
(1) a>-2, b>1/3ならばa+2>0, 3b-1>0がいえる.
両者の積をとると(a+2)(3b-1)>0⇔3ab-a+6b-2>0⇔3ab-2>a-6bとなって示された.
[これは結果を因数分解して考えれば上のように書ける]
***
(2) すべての実数xについて, 4x^2-4x+3=(4x^2-4x+1)+2=(2x-1)^2+2>0が成り立つ.
これは4x^2+3>4xと同値で主張は示された.
[xの2次式ですべてのxについて0より大きい. これはグラフの問題でやったように平方完成が有効です.
不等式の問題としては, すべてのuについてu^2≧0, 等号成立はu=0である事実を使っています]
***
(3)x, yが実数ならば2x^2-3xy+2y^2=2(x-3y/4)^2+(7y^2/8)≧7y^2/8≧0がいえる.
等号成立はx=3y/4かつy=0, すなわちx=y=0である.
[見かけはx, yが入り混じってやりにくく感じるのですが, 2次の同次式であることをチェックすれば上と同じ問題になります.]