Question

ゲスト

⑴は無理やり計算して解きました。なので⑵番からの問題が解けませんでした、解き直したのですか、一般項が思いつきません。教えてください。

数列 {2。}) は, 1 ぶ 1 個、2 が

2 個、3 が3 個、…, ! が』 個,… が順に並んだ次の
ような数列である.

la 2| NIS Ai RMA ns
1) はじめて現れる 30 は数列 {g。} の第何項か.
(2)  のsooo を求めよ.

耳目 5000 となるような ヵ の値を求めよ.
陀    ーー

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鹿

全体の一般項を求めなくても、各群のことを整理しておくと解けます

群数列として考え、第n群にはnがn個並んでいるので、
第n群までの項数は Σ[k=1→n] k = n(n+1)/2

(2)
n(n+1)/2 のnに代入して5000近くになるnを探していく
100²/2=5000 なのでnは100辺りになると予想でき、この付近を代入してみる
n=99のとき 99•100/2=4950
n=100のとき 100•101=5050
よって第99群の最後はa[4950]、第100群の最後はa[5050]なので、a[5000]は第100群に存在する
よって、a[5000] = 100

(3)
各群の和はnがn個、即ちn²なので、第1群から第n群までの総和は Σ[k=1→n] k² = n(n+1)(2n+1)/6
(2)と同様に概算、今回は 2n³/6 = n³/3 に代入して5000付近、つまりn³=15000くらいになるnを探す

n=25のとき 25³=15625、n=24のとき 24³=13824
これより24、25付近と分かるので、実際に総和に代入
24•25•49/6 = 4900、25•26•51/6 = 5525 > 5000
よって、第24群までの和が4900、次から第25群なので
ここに25を4回を足せば和は5000になる(25•4=100)

第24群までの項数は24•25/2=300、25を4回足すので求めるnは 300+4=304

ゲスト

ありがとうございます。
一番最初のn(n+1)/2は郡数列では決まってある式なのですか？

鹿

各群の項数がnで表せることから、その式になっています

他にも、例えば各群の項数が1,3,5..2n-1と奇数個になっている数列であれば、第n群までの項数は Σ[k=1→n] (2k-1)=n² となります

ゲスト

なるほど了解です。
本当にありがとうございます。