Question

koto

この問題を教えてください。

座標平面上に点P（0,2）と点 Q（1,0）があり放物線y=（x-t）^2をCとする。このとき線分P Qと放物線Cが接するときの座標を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

この問題を解く方針は、まずtの値を決めてから接点を求める　です。

まず PQの線分の方程式
　傾きが (2-0)/(0-1) = -2 で、(0,2)を通るので y=-2x+2 (0≦x≦1)。

y=(x-t)² と y=-2x+2 が接するので、この2線の交点が1個(重解を持つ ⇒ 判別式=0)

y=(x-t)²=-2x+2 より
x²-2(t-1)x+(t²-2)=0　①

判別式
D/4=(t-1)²-(t²-2)=-2t+3=0
∴ t=3/2

t=3/2 のとき①の式は
x²-2(t-1)x+(t²-2)=x²-2(3/2 - 1)x + (9/4 - 2) = x²-x+1/4
= 1/4*(4x²-4x+1) = 1/4 * (2x-1)² = 0
x=1/2
これは 線分PQの範囲 0≦x≦1 を満たすので適。
　※ ここで接点のx座標が PQの線分より外(x＜0,x＞1)だと不適合なので解なしです。

この接点は、y=-2x+2上の点なので
y = -2 * 1/2 + 2 = 1

上記より t=3/2 のとき 接点の座標(1/2,1)