Question

あ

このような、分数がルート内に入っている問題で、
分母が約分できない(少数になる)ような整数aが
答えになることはありますか？

ぅ回 次の問いに答えなさい。(Gmxo)

(⑩ @が-5以上15以下の整数のとき.

/g+5 が有理数となるようなgwをすべて答えなさき
い。

Answer 1

LUX SIT

きっちり理詰めで考えていけば質問の答えが分かりますよ.　ただ少し立ち止まって考える箇所があります.
***
分母が√2なので工夫を考えます.
√{(a/2)+5}=√{(a+10)/2}=√{2(a+10)}/2 [まず分母を有理化する]
有理数というのは分数の形で表される数ですから, √{2(a+10)}が有理数であればいいことになります.
この条件を満たすa+10は適当な整数ℓを用いて2ℓ^2の形で書ければいいわけです.
a+10=2ℓ^2⇔a=2ℓ^2-10
aは-5以上15以下の整数なので
-5≦2ℓ^2-10≦15⇔(5/2)≦ℓ^2≦(25/2)
この条件を満たす整数ℓはℓ=3のみです. 以上からa=2*3^2-10=8と決まります.
このとき√{(a/2)+5}=3です.
***
ところでaが一般に整数でも√{2*(2*ℓ^2)}/2=|ℓ|なので必ず整数になります.
aが実数ならa=-19/2をとって√[{(1/2)*(-19/2)}+5]=√(1/4)=1/2のように分数になるものもあります.