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32 √3 が無理数でないと仮定すると,√3 は有理
数である。
m
n
よって,2つの自然数m,n を用いて,√3=
と表される。 ただし, m, nは1以外に正の公約
数をもたない。
DE
m²=3²
このとき, m=√3nから m² = 3n²...... 1
したがって, m²は3の倍数であり,mも3の倍
数である (31(2) 参照)。
そこで, kを自然数として, m=3k とおくと,
①より
(3k)23m2 すなわち 3k²=n2
よって, n2は3の倍数であり, nも3の倍数で
ある。
mとnがともに3の倍数であることは, m, n が
1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。
したがって 3 は無理数である。