(R3 - 高選抜1期1日目)
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花子さんと太郎さんは,右の図のように,同じ大きさの正三角形のタイルを1段目から
順に1枚,3枚,5枚,
この作業を進めながら自然数のある性質に気づきました。
【花子さんと太郎さんの会話】を読んで,次の問いに答
えなさい。ただし, nは自然数とし, 会話中の同じ記号
の空欄には,それぞれ同じ数または式が入ります。
…とすき間なく並べ,大きな正三角形を作っています。
1段目→
2段目 →
3段目→
【花子さんと太郎さんの会話)
花子さん:このように並べていくと, 4段目に並ぶタイルは7枚で, 5段目は(ア)
枚だね。すると, n段目に並ぶタイルの数は「(イ)|枚と表すことができ
るわ。じゃあ,今までにタイルは全部で何枚使ったのかしら。
太郎さん:タイルの枚数を1段目から数えてみると, 3段目までで9枚使われている。
4段目までだと 16枚,5段目まででは全部で「(ウ)枚になっているぞ。
花子さん:このように考えていくと, 使われたタイルの枚数には規則性がありそうね。
n段目まで並べ終えたら……, タイルは全部で(エ)枚になるわ。
太郎さん:これって,段ごとに並ぶ枚数の和だから, 式で表すと,
+[(イ)]
1+3+5+7+
花子さん:この式は,1からn個の奇数の和を表しているわ。
太郎さん:つまりn個の奇数を1から順にたしていくと
(エになるんだね。
(1) 上の【会話】の中の(ア)|~(エ)]に最も適する数または式を入れなさい。
【会話】を参考にして, 1から99 までのすべての奇数の和を求めなさい。
3) タイル350枚を使って, 上のように並べていきます。 最大何段目までを完全に並べ終
えることができて, 何枚余りますか。
