（4）で、 黄色マーカーの部分が、なぜ上の式から下の式に変換できるのか（2m+1にmを掛けているのか）がわかりません。 また、青星マークがついている式全体の意味がよくわかりません。なぜ正の係数kの個数を出すための式を使っているのですか？ 教えてください。

11 正の整数に対して, a を√kの整数部分とする。 例えば, a2=1, a1=2, ag=2であ る。 15 (1)の値を求めよ。 k=1 (2) =5となるkの個数を求めよ。 (3)m を正の整数とするとき, ak=mとなるkの個数をm を用いて表せ。 1000 (4) Zak の値を求めよ。 k=1 (1)を正の整数として, a=mとなるような正の整数の値の範囲は m√m+1から m²≦k<(m+1)2 m2km+1)2-1=m²+2m (25) すなわち ① って m=1のとき 1≤k≤3 3つ m=2のとき 4≤ k ≤8 5コ m=3のとき 9≤≤15 15 3 8 15 ゆえに a=a+Σak+Σax=3.1+5.2+7-3=34 k=1 k=1 k=4 k=9 (2) ①から,m=5のとき 25≤ k ≤35 よって,=5となるような正の整数の個数は (3) ①から,ax= m となるような正の整数の個数は (m2+2m)-m2+1=2m+1 (個) (4)312=961,322=1024 より 312<1000<322 ①,(3)から,m=30のとき 900 k≤960 1 000に対して ak=31 960 1000 k=1 k=961 30 Makat ak よって = k=1 (2m+1)m+31 (1000-961+1) m=1 35-25+1=11 (個) 30 30 =2m²+m+1240 m=1 m=1 1.30(30+1X2・30+1) + 1/12 30-(30+1) +1240=20615

次の問題ぽ青線はどの様に考えて場合分けしているのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

223 関数 f(x) = x-6x2+9x-12-t≦x≦2+t における最大値と最小値を求めよ。 ただし, t> 0 とする。 f'(x) = 3x-12x+9=3(x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x=1,3 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 YA 3 x 1 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x)|7 3 -1|> 0 1 -1 ゆえに, y=f(x) のグラフは右の図。 また f(0) = -1 = f(3), f(1)=3= f(4) (ア) 0 <t < 1 のとき 3 2+t 13 0 11 3- 2-t x YA 2+t x=2-t のとき 最大値 f(2-t) = (2-t)³ −6(2− t)²+9(2− t) — 1 =-t+3t+1 x=2+t のとき 最小値 f(2+t) = (2+t)-6(2+t) +9(2+t) -1 =t-3t+1 (イ)_1≦t< 2 のとき x=1のとき 最大値 3 x=3のとき 最小値 -1 (ウ) t≧2 のとき x = 2+t のとき 最大値 f(2+t) =t-3t+1 x=2-t のとき 最小値 f(2-t) = -t + 3t + 1 a 3 -1 f(1)=13-6.12 +9・1-1=3 f (3) =33-6.32 +9・3-1 = x-6x2+9x-1=3 を変形すると (x-1)(x2-5x+4) = 0 (x-1)(x-1)(x-4)= よって x=1,4 3 01 x 2-t y 3 2-t 3 4' x 2+t

次の問題で青線から何故答えの様に言えるかがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

214 (1) 3x2 + 2x = (x2+ax + b)' + cx + d がxについての恒等式となるような定数a, b, c, dの値を求めよ。 (2) 曲線 y=x^ - 3x + 2x と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 (1) (右辺)={x4 +2ax+ (a +26)x2+2abx+b2}+cx + d ●右辺を展開して 左 = x4 +2ax+(a +26)x2 + (2ab+c)x +62 + d 左辺と係数を比較すると 2a=0 ... 1, 2ab+c=2... ③, a +26 = -3 b+d=0. 4 ①より a = 0 ⑤② に代入すると b = = 45 ⑥ ③ に代入すると ⑥④ に代入すると d (2)(1) 3 2 c = 2 - 9 4 2 x² -3x² + 2x = (x² - 33 ) ² 32 9 +2x- 4 係数を比較する。

次の問題の青線では何が起こっているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

214 (1) x-3x²+2x dの値を求めよ。 == (x2 + ax + b)2 + cx + d が x についての恒等式となるような定数a, b, c, (2) 曲線y = x4 - 3x2 + 2x と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 (1)(右辺) = {x4 +2ax+(a° +26)x+2abx+62}+cx + d 右辺を展開して 左と 係数を比較する。 = x +2ax+(+26)x2 +(2ab+c)x +6 + d 左辺と係数を比較すると 2a = 0... 1, 2ab+c=2 a +26 = -3 ... 2 ③, b2+ d = 0 (4) ① より a = 0 ... 5 3 ⑤② に代入すると b = - 2 (5 ⑥を③に代入すると c=2 ⑥④ に代入すると d=- 9 4 2 (2)(1)より x4-3x2+2x= ( 3 +2x 2 16

次の青線が計算しても求められないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

接線 ①が点 (0, 2) を通るから 2 = 6t° +7 +1 6t37t + 1 = 0 を解くと (t-1)(6t2-t- (t-1)(2t-1)(3t+1 0 1 よって 1 t=1, 2' 3 これを ①に代入すると y=-5x+2, y= 17 -x+2, y= 4 3x+2 すなわち y=(2t-5)x-t+1 ... ②② 接線 ①,②が一致することから f3s2-3=2t-5 ... ③ 組立除法を利用する。 [-2s3=-t+1 ... ④ +) 6-7 0 6-1-1 1 ③ ④より, tを消去して整理すると Sは実数より s2 (9s2-8s +12)=0 S = U 6 -1 -1 0 これより t=1 したがって, 求める共通接線の方程式は y=-3x 〔別解〕 (4行目まで同じ) ① と y=x-5x+1 を連立すると (3s2-3)x-2s' = x-5x+1 整理すると x²- (3s+2)x + 2s + 1 = 0 210 (1) αは実数とする。 2つの曲線 y=x+2ax²-3ax-4 と y=ax22a3aはある共 有点で両方の曲線に共通な接線をもつ。このとき,αの値を求めよ。 (2)2つの曲線 y=x-3x,y=x25x+1 の共通接線の方程式を求めよ。 (1) f(x) = x +2ax-3ax-4,g(x) = ax-2ax-34 とおくと (千葉大) 直線 ①と放物線y=x-5x+1 が接するから, ⑤の判別式をD とすると D=0 D = (3s' +2)-4(2s'+1)=s'(9s8s+12) s2 (9s2-8s+120 より s=0 f'(x) = 3x+4ax-34, g'(x) =2ax-24 したがって, 求める共通接線の方程式は y= -3x 共通接線をもつ共有点のx座標をおくと f(t) = g(t) より t3+2at2-3at-4-at2-2at-3a ･･･ ① f'(t) =g'(t) より 3t2+4at 3a² = 2at-2a² ・・・② ②より 3t+2at-d=0 共有点のy座標は等しい。 共有点における接線の傾 きは等しい。 211 次の関数のグラフをかけ。 (1) y=x-3x +2| (2) y = |x|(x²+x-1) (t+a) (3t-a)=0 a よって t = -a, 3 (1) f(x)=x3x²+2 とおくと f'(x) = 3x-6x=3x(x-2) (x) = 0 となるxは x=0,2 (ア) t = -a のとき ① より 4a3-4 3a3-3a a3+3a-4=0 (a-1) (a²+α+4) = 0 αは実数であるから a=1 a (イ) t= のとき + 組立除法を用いると 1 1 0 3 -4 11 4 114 0 a³ 2a3 a³ 2a3 α+α+ 4 = 0 は実数解 をもたない。 ①より + a3-4= -3a 27 9 9 3 a3+6a3-27a3-1083a3-18a3-81a 5a3-81a 108 = 0 (a-3)(5a²+15a-36) = 0 -15±3/105 よって a = 3, 10 (ア)(イ)より -15±3/105 a = 1, 3, 10 (2) 曲線 y=x-3x 上の接点をP(s, s-3s) とおくと, y'=3x²-3より, 点Pにおける接線の方程式は y- (sa-3s) = (3s2-3)(x-s) すなわち y=(3s2-3)x-2s3 ... ① 曲線 y=x^-5x+1 上の接点をQ(t, ピ-5t+1) とおくと, y'=2x-5 より, 点Qにおける接線の方程式は y-(t-5t+1)=(2t-5) (x-t x 0 ... 2 f'(x) + - 0 0 よってf(x)の増減表は右のよ うになる。 f(x) 2 ゆえに、関数(x)は x=0のと 極大値 2 x=2のとき 小値 2 また, f(x) =0 とおく (x-1)(x-2x-2)=0 よ x=1, x=1±√3 A 両辺に27を掛けて整理 する。 ●組立除法を用いると 1-√√3 3 5 0-81 108 +) 15 45-108 5 15-36 10 (1±√3,0 なり,y=f(のグラフは右の図。 y=f(x)のグラフは,y=f(x) の グラフ よって, y=f(x)のグラととの 共有点の座標は (1 y-f(s) = f'(s) (xls) を用いる。 x 軸より下方にある部分を 軸にして折り返したものであるから るグラフは右の図。 f(x)=|x|(x²+x-1) とおく。 (ア) x≧0 のとき f(x)=x(x²+x-1)=x+x-x より 1-30 f'(x) = 3x2+2x-1= (3x-1)(x+1) f (x) = 0 となるx は, x≧0 より x= 13 W 1 2 1+3

次の問題で何故青いところは②に代入しようとするのでしょうか？①はダメなのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス 次の連立方程式を解け。 (x+y=1 (1) lxy=-6 ... (2) fx2-5xy = 2 (3) l2xy-y=-1 ② Jx-xy-6y2=0 (2) lx-3y2-2y=8 2 Action》 連立方程式は, 1文字消去せよ |文字を減らす 連立方程式の基本的な解法の流れ 1文字消去 xとyの だけの方程式 連立方程式 x=(yの式) (*) (2),(3)は,①,② ともに2次式である。 (2) ①をxについての2次式とみると, 因数分解を 用いて解くことができる。 既知の問題に帰着 (3) ① x=(yの式) にして ② に代入すると, 式は 複雑になる。 「定数項が0ならば (2) の因数分解の方法に ← (*) はxについて解いた式と みることができる。 ② をy=(xの式) にしても 同様。 (イ) x=3y ... ④ のとき ④を②に代入すると 6y2-2y-8=0 より (3y)-3y2-2y=8 (3y-4)(y+ 1) = 0 4 ゆえに y=-1, 3 ④ に代入すると y=1のとき x=-8 y=4 y =1のとき (ア)(イ)より x=4 ly=-2, x=3(-1)=-3 x = 3.13=4 x=4 [x=-3 4 y=-1, y= 3 (3) ①+②×2より x-5xy+2(2xy-y2)=0 よって x2-xy-2y2 = 0 (x-2y) (x+y) = 0 ゆ x = -y または x=2y (ア) x-y... ③ のとき ③②に代入すると -2y2 y² = より y= + 3 V3 |13 3 =± 3 ... 3 帰着できるかもしれない」 と考える。 (1) ① より y=1-x ③②に代入すると x-x-6=0 より よって x=2,3 ① に代入すると x(1-x)=-6 (x-3)(x+2) = 0 x=2のとき y=1-(-2)=3 x=3のとき したがって y=1-3=-2 [x=-2 x=3 Lv=3, ls=-2 lyを消去し, xだけの2 次方程式をつくる。 1.2 = ③に代入すると /3 3 y = のとき x=- 3 /3 /3 y=- のとき x= 3 3 (イ) x=2y ... ④ のとき ④を② に代入すると 4y-y=-1 3y2 = -1 となり, これを満たす実数y は存在しない。 (2) ① の左辺を因数分解すると (x+2y) (x-3y) = 0 よって x = -2y または x = 3y 右辺が0である①の左 辺が因数分解できるこ とに着目し,xyの式 で表す。(xを消去し /3 x= x 3 3 (ア)(イ)より 3 3 y= 3 3

次の青線の因数分解がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

74 頂点が直線 y=x+1 上にあり, 2点 (0, 1), 1, 2) を通る放物線の 頂点は,(1,2) でないとする。 頂点は (b, p+1) とおけるから, 求める放物線の方程式は y = a(x-b)+p+1 と表される。 ただし p = 1 - 2点(0, 1), (1, 2) を通るから -1=4(0-p) +p+1 より ap2 + p+2=0 - 2 = a(1 − p)² + p+1 k h ② を因数分解すると ① ap-(2a-1)p+α-1=0 2 (-1) (ap-a+1)=0 p=1であるから ap-a+1=0 よって a = 1 1-b これを 1 に代入すると か 1-p +p+2 = 0 両辺に1 ゆえに を掛けると p=2 -p+2=0 このとき a=-1 したがって, 求める放物線の方程式は y= -(x-2)+3

次の(4)の問題で青線のところは何故平方完成しているのでしょうか？どなたかお願いします🙇‍♂️

次の関数の増減を調べよ。 また, その極値を求め, グラフをかけ (1) y=x-3x+1 (3) y = x +3x° + 3x +2 (2)y=3x +4 (3) y = 3x²+6x+3=3(x+1) y'=0 とおくとx=-1 よって, yの増減表は次のようになる。 -1 =3(x+1)^ のグラフ ✓ -1 1X J4) y=x+x+3x-2 1x4 X y' + 0 + 段階に分ける (3次関数のグラフのかき方) y 1> ① 導関数y' を求める。 1 ② y=0となるxを求める。 前後で増加減少が変わるxの候補 ゆえに、この関数はつねに増加し、 値をもたない。 -10 ③ 増減表をつくる。 の符号の変化を確認し、 また, グラフは右の図。 ④ 極大値, 極小値を求め, グラフをかく。 思考プロセス Action 》 関数の増減は、 導関数の符号を調べよ (1) y=3x²-3=3(x+1)(x-1) y'=0 とおくと x=±1 よっての増減表は次のようになる。 X -1 1 ... y' + 0 0 + y > 3 -17 ゆえに、この関数は y'=3(x+1)(x-1) のグ ラフ (4)y=3x°+2x+3=3(x+1/+1/8 x=-1の前後でy の符号は変わらないから, x=1で極値をとらない よってyの増減表は次のようになる。 x y' + y > ゆえに、この関数はつねに増加し、 値をもたない。 また, グラフは右の図。 74 のグラフ +

次の(3)の問題で青線の範囲が違うのに赤線の様な範囲はどの様に考えて出しているのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

68 2次関数 f(x) = -x+2x +3 (a ≦x≦a+1)について (1) 最大値 M(a) をαの式で表せ。 (2)最小値 m (a) をαの式で表せ。 (3)M(a)-m(a) = 4 となるようなαの値を求めよ。

次の問題がよく分からないのですが青線はどこからきているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

練習 233 x≧0 を満たすすべてのxに対して, x-3x≧a(3x²-12x-4) が成り立つ定数αの値の 範囲を求めよ。 ただし, a<1 とする。 とおく。 f(x)=x-3x-α(3x12x-4) =x-3(a+1)x2 +12ax+4a f'(x) = 3x-6(a+1)x + 12a (慶應大) =3(x-2a)(x-2) f'(x) = 0 とおくと XC 0 x = 2a, 2 f'(x) + 20 a < 1より 2a <2 2 - 20 + よって, x≧0 の範囲で, f(x) f(x) || 4a 極大 極小 の増減表は次のようになる。 (ア) 0<a<1のとき 増減表より, x≧0 の範囲で f(x) ≧0 となる条件は f(0) ≧0 かつ (2) 0 f(0) = 4a≧0 より a ≥o f (2)=16a-4≧0 より a≥ 1 よって ≦a< 1 4 (イ) a≦0 のとき であるから,不適。 x 0 a≦0より f(2) = 16a-4 < 0 f'(x) (ア)(イ)より ≦a<1 4 f(x) || 4a - 0<a<1のときはf(0) とf (2) のどちらかが最 小値である。 2 ... a≧0 のときは f (2) が 0 + 最小値である。 極小