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基本例題 242 放物線と円が囲む面積
R
5
R(0,
4
|放物線:y=x2 と点 R 0, を中心とする円Cが異なる2点で接するとき
(1) 2つの接点の座標を求めよ。
PARA
(2) 2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧とLとで囲まれる図形の面
SSEROTOPROT
を求めよ。
[類 西南学院大]基本20
指針 (1) 円と放物線が接する条件を p.156 重要例題102 では 接点重解で考えた
ここでは微分法を利用して,次のように考えてみよう。
+88=8+₁
LとCが点P で接する点P で接線l を共有するRPℓ
(2) 円が関係してくる図形の面積を求める問題では,扇形の面積を利用することを利
するとるとよい。 半径が,中心角が0(ラジアン)の扇形の面積は 12/10
-
b-d
8+0
(6-8)(6+8)6
解答
(1)y=x2 から y'=2x
株果
2
LとCの接点Pのx座標をt (t≠0) とし, この点での共通
の接線を l とすると, lの傾きは 2t
5
t²_.
点 R と点 P(t, t2) を通る直線の傾きは4412-5⑩-
380 < $100
t-0
4t
ゆえに = 3(-x) (0)
RP⊥l から
4t²-5
4t
2t.
√√3
t=±
よって
b/(0-8)
(2) 右図のように,接点A,Bと点Cを定めると,
=
=-1
2 ゆえに、接点の座標は
2
練習
3242
5 3
RC:AC=1:13 から ∠ORA=1/5, RA=22-2)=1
4
L と直線 AB で囲まれた部分の面積をSとすると一
S=S+RBA- ( 扇形RBA)
-S²(³-x²) dx + 1 · 1²³.sin ²23 x - 1.rze
3
4
2
RA=2•
放物線:y=1/12 x 2 上に
√√3
4
4
--√²(x + √3)(x-√3) dx + √3_32-533
==
2
2
π
3
24
-3√3
4
√√3 3√3 3
-8) +/-(6-
8)-(-B SIA
T
------- A
3+
B
3-
O
B
A
1
R
f
[6] 2
[0]
√√3
y (y=r
/102/01
