例題 367 空間における点の一致
★★★
四面体 OABC において, △ABC, △OAB, △OBCの重心をそれぞれG1,
G2, Gs とすると, 線分 OG1, CG2, AGg は1点で交わることを証明せよ。
段階に分ける
線分 OG1, CG2, AG3 が1点で交わる。
OG と CG2 の交点 D がAG 上にある。
G2
A
• G3
I. OG と CGの交点Dの位置ベクトルを求める。
●G1
II. 点Dが線分AG の内分点であることを示す。
B
思考プロセス
0
《ReAction 2直線の交点の位置ベクトルは, 1次独立なベクトルを用いて2通りに表せ 例題 363)
線分ABの中点をM とする。 点 G1, G2 は, 線分 CM, OM
上にあるから, 線分 OG1 と CG2 は1点Dで交わる。
OG1, CG2 は平面OCM
上の平行でない2つの線
分である。
点 D は線分 OG 上の点であるから
OD=rOG=0A+/OB+/OC
となる実数 tが存在する。
また, 点Dは線分 CG2 上の点であるから,
CD:DG2 = s: (1-s) とすると
・①
G25
A
M
B
OD = sOG2 + (1-s) OC
= 1 -OA +
OB+(1-s) OC
OA, OB, OC は同一平面上にないから,①,② より
t
S
t
=
かつ
=1-s
3
3
3
3
よって
s=t=
4
① に代入すると
OD = (OA
-(OA+OB+OC)
=
+ (OA+3× OB+OC)
OA+30Gs
3
1-$
G2
A
M
B G₁
OG₁ = (OA+OB+OC)
3
OG2=1/23 (OA+OB)
OG₁ = (OB+OC)
点D は, 線分 OG1, CG2
3:1に内分する
=
4
点D が線分AG 上にあ
ることを示したいから,
ODOÃOG で表
すことを考える。
よって, 点Dは線分AG を 3:1 に内分する点であるから,
線分 OG1, CG2, AG3 は1点で交わる。
OB+OČ
OGg=
であ
3
るから,この形をつくる
ように変形する。
