EX96ではなぜsin2θやcos2θを使っているのですか？その発想が出てくる理由を教えてください。

EX 396 π tan 24 4-02*82 20-12-3-4 =0 とすると ゆえに * sin 20-sin(5-4)=sin 3 √2-√3-√6は整数である。その値を求めよ。 1 tan したがって √√3 . - 4² 1/2-1/2-4/²² e 2 = π 24 π π cos 28=cos(-4)-coscos+sin sin ① ←加法定理。 3 4 1 = e + √2 2 1 tan 0 tan 3 1 √3 = π 24 cos sine π cos-cossin √3-1 = 2√2 3 1 √3+1 √2 2√2 = 2√2+√3+1 (2√2+√3+1)(√3+1) √3-1 (√3-1)(√3+1) 2√6 +2√3 +2√2+4 3-1 = =√√6 +√3+√√2 +2 1 2 cos²0 2 sin cos T 4 数学 Ⅱ 171 √2-√3-√6=2 02000←2倍角の公式 1+cos 20 =(1+√3+¹)× 23 ²1 mig :) sin 20-2 sin cos 6. 2√2 sin 20 S) 0, cos 20=2 cos²0-1 ← 1/1/2=112²³2 1_4-3 ←加法定理。 [ 横浜市大〕 X3 ←分母の有理化。 4章 以[三角関数] EX

(2)の解説を詳しくお願いします。 よろしくお願いします

例題 5 二項定理[2] (1)(3x+2y) の展開式におけるxy および xy の係数を求めよ。 (2) (x-2) の展開式におけるの係数および定数項を求めよ。 思考プロセス 定理の利用 <ke Action (a+b)" の展開は, 一般項n Crα"-'b' を利用せよ 例題4 (1) (3x+2y) の展開式の一般項 Cr (3x) 6-7 (2y) = 6C736-12' x-ry 24-7² (r = 0, 1, 2, ---, 6) 係数 x'y', xys となるようなの値は? (2) (x-2)={x+(-1/2)}* の展開式の一般項 練習 5 8 08 201 12-2r C₁ (x²)²-(-²) = C₁ (-2). - (r = 0, 1, 2, ---, 6) x² 係数 解 (1) (3x+2y) の展開式における一般項は 6C (3x)-¹(2y)² = 6C₂36-72″ xy²4.0+ (r = 0, 1, 2, ..., 6) C234224860 6C53¹25 = 576 x^2の係数は,r=2 とおいて xy の係数は, r = 5 とおいて 6 6 (x-2)={x+(-/2/2)}の展開式における一般項は C₁ (2²) ²-7 ( - 2) = の係数について 12-2r=3+r より よって, xの係数は 定数項について, 12-2r=r より よって、 定数項は 43 = x, 定数となるようなの値は? x¹2-27 x² x12-2r x² = 6C₁x²(6-7). (−2) x x12-27 x² (r = 0, 1, 2, ..., 6) x12-2r = x3+r = 6Cr(-2). r = 3 6C3 (−2)3 = 20(-8)= -160 =1 より r=4 =xより x12-27x7 thesengigan «Ca(−2)* = «Cz •16 = 15 · 16 = 240 (1) (4x-y) の展開式におけるxy2の係数を求め上 y'の係数は C36-72 文字の部分がxy² となる のは x-ry' = x^y^2 とお くとr=2のときである。 201+ 一般項の係数は C (-2)* x801-18= 4章の指数関数を学習し た後は,指数法則を用い て 12-27 DIR x-12-3r x² の項の次数は3より 12-3r=3 としてよい｡ x12-2003 が約分できて1と 例題 x² なるとき, C, (-2)^1は 定数となる。 すなわち, 展開式の定数項を表す。 思考プロセス 次 (1 (2

（２）なんですけど、赤く囲った部分どういうことですか？何言ってるのかわからないので解説お願いしたいです。 場合わけをするべきってことはわかったのですが、なぜこの問題で偶数奇数が関わってくるのでしょうか

nπ mono. 2 (1/3) sin の和を求めよ。 2 (2) J (2) 無限級数 Σ n=1 8 指針 無限等比級数 Σar"=a+artare+.･････ の収束条件は α = 0 または |r|<1 [1] a=0, |x|<1のとき 収束して、和は [2] a=0のとき 収束して,和は0 員 (1) 公比ヶが|r|<1, r≧1のどちらであるか を,まず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束 発散 公比 ±1が分かれ目 n=1 n 4 1-1-13 2 (2) 自然数とすると (1) (1)(ア)初項は√3,公比はy=√3で, x>1 であるから,発散する。 H 2√3 √√3 (イ)初項は 4,公比はr=- で, r<1であるから, 収束する。和は 4 2 -=8(2-√3) 8-0.0343 8 (2-√3) 2+√3 == nπ n=2k-1のとき sin n ¹7 = sin(kx-7)=- 2 104 (2+√3)(2-√3) n=2kのとき n nπ よって,数列{(1/3 ) 'sin 7/7 } は 2 nπ sin- =sinkx=0 2 3 1-(-3/2) 3² a 1-r *coskx=(-1)+1 3 10 37⁹ .. 無限等比級数であり,公比rはr<1であるから収束する。 1 その和は [(2) 愛知工大] 0<al+x81 p.202 基本事項 ① TRAHO (初項) 1 (公比 ) 1 3, 0, -3, 0,5, 0, - 35 33 .07439 0.0000243+0.000000 n となる。ゆえに,(1/3 ) 'sin "は初項 1/3,公比 - 12/13 の 無限等比数列 1/3/31 3³⁹ 9 3² 2 n=1\ の和とみる。 na まず sin- -がどのような 値をとるかを n が奇数・ 偶数の場合に分けて調べる。 んが整数のとき 1 (kが偶数) -1 (奇数) cos k= =(-1) (初) 1 (公比 ) 4章 15 無限級数

何で重解から考えるんですか？

282 第4章 関数の極限 Check 例題124 無理関数のグラフと直線 ･･① のグラフと直線y=x+k•••••• ② との共 関数 y=√2x-1 有点の個数を調べよ.ただし,k は実数の定数とする. 考え方 まず無理関数 y=√2x-1 のグラフをかく. 次に,kの変化に応じて,直線を動かして考える. 直線を上から下に平行移動するとき, 次の2つに注意 すれば、共有点の個数の変化がつかみやすくなる。 ① 曲線 ①と直線②が接するときのんの値 図] 直線②が曲線 ①の端点 (121, 0) を通るときのん CARAC の値 つまり,①を境として共有点の個数が 850 0個→1個→2個 を境として共有点の個数が 2個→1個 解答 ①のグラフは右の図のように なる. na まず①,②のグラフが接する ときのんの値を求める. ① ② より 両辺を2乗すると, Focus √2x-1=x+k k</1/2,k=0のとき. 2' <0 のとき, 共有点の個数はグ を対称軸とす とそれぞれ変化する. 2 YA 34+05-\ flampa 1- 845 VAS Ø 1 1 MX 2 2個 (2) (1) 48 2x-1=(x+k)2 より, x2+2(k-1)x+k²+1 = 0 LEDS この方程式の判別式をDとすると, 重解をもつから, D =k-1)-(k²+1)=-2k=0 より, k=0 次に、直線②が点 ( 12.0)を通るときのたの値を求める。②にx=yal を (☆) 0= 1/2+kk), k=- 代入する. 2 以上より, ①,②のグラフの共有点の個数は, >0のとき、 0個 1個 eta + (a y=√2x-1 y=x+k 2 y=√/2x-1 ①のグラフと数本の 当な②のグラフをかく y = √(√2(x - 1) ①のグラフは y=√2x のグラフを x 軸方向に1/だけ 行移動したもの 接する重解をもつ ⇔D=0 グラフで確認する。 ん の値の減少により、 ②は下方に平行な動 る.

合成関数についてです。 (2)の別解に書かれているh(x)=(g。f^-1)(x) なのですが 何故h(x)=(g。f^-1)(x)になるのか教えて欲しいです。 合成関数を解く時右上の図をイメージしなければ ならないのでしょうか？ (右上の図なくても解けるような気がするので... 続きを読む

Check 例題128 合成関数 O (1) f(x)=3x+1,g(x)=2x²-2,h(x)=xのとき,次の合成関数 を求めよ. (ア) (fog) (x) (イ) ((fog) oh) (x) (2) 関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hf) (x)=g(x) となる 関数ん(x) を求めよ. 考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう. (1)(イ)((f°g)。h)(x) は, f°g=F と考えると, (Foh)(x)=F(h(x)) となる. (2) y=f(x) とおいて, y を上手く利用する. つまり, (f)(x)=h(f(x))=h(y) となる. (または、右のように f(x) の逆関数 f''(x) A を用いて考えてもよい) 解答 (1)()(fog) (x)=f(g(x))=f(2x2-2) =3(2x²-2)+1=6x²-5 Focus (イ) ((f・g)。h)(x)=(f-g) (h(x)) 2 = = (ƒ • 9) (²₁) = 6(+²1)-5=(x-1)²-5 24 =(f.g) 2 2 (2) y=f(x) とおくと, (hof) (x)=h(f(x))=h(y) したがって (hof) (x)=g(x) より, 1 h(y)=g(x)=3x-4 また, y=f(x)=x+2 より, x=y-2 これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10 よって, (別解) f(x)=x+2 より, h(x)=3x-10 (hof) (x)=g(x) より, f-1(x)=x-2 4-5 ん(x)= (gof-1)(x)=g(f'(x)) =3(x-2)-4=3x-10 ** h? 00: h? 00:0 合成関数 (gf) (x)=g(f(x)) (f°g) (x) は(ア)の結 果を利用する. y=f(x)とおいて Fot+税 まずh(y) を求める. h(y) をxの式で表 す。 hy → 3y-10 より, yにx を代入す ればん(x) が求まる. y=x+2 とすると, x=y-2より, |f-1(x)=x-2 注》例題128 (2) でん(x)=3x-10のとき, (hof)(x)=h(f(x))=3(x+2)-10=3x-4=g(x) となり,題意を満たしている. 第4章

なぜy軸方向に1だけ平行移動するのですか？

= (4) y sin 30+1 200 R

（1）X＝4cos30°＝4×2ぶんの√3＝2√3 とありますが、なぜcosが出てくるのですか？

3 222 次の直角三角形ABCにおいて, x, yの値を求めよ。 (2) 4 30° B y C B A ³ A y 45° 3 60° A 2 p.130, 131 第4章 図形と計量

高校数学 軌跡 についての問題です。 赤下線部の導き方を教えてください。

411 パラメタを含む直線の通過範囲(1) 実数tが t≧0 を動くとき, 直線:y=tr-t2+1 が通り得る範囲Dを図 示せよ。 精講 t=0, ½, 1, 2, 7 Dを完全に捉えることは不可能です。 そこで, 409 と同様に,発想の転換をし して座標平面上の点 (X,Y) がDに属する条件を考えます。 たとえば, 点(4,4), (15),(5,7 (23) はDに属するかを調べてみましょう。 が (44) を通る条件は、その方程式に(z,y)=(4,4)を代入した式 . (t-1)(t-3)=0 4=4t-t2+1 が成り立つことです。 ≧0 において⑦を満たすtの値として1,3がとれるの で, , が (44) を通ることになり, (4,4)はDに属します。 同様に,(1,-5),5723) を通る条件はそれぞれ -5=t-f+1 ... (t-3)(t+2)=0 •••••• イ . (t+2)(t+3)=0...... ウ 7=-5t-t2+1 3=2t-t+1 …. 2-2t+2=0 が成り立つことです。 t≧0 においてイを満たす値として t=3 をとれるので, が (1, -5) を通るこ て⑦を満たすもの値はないので, (-5, 7) はDに属しません。 また, エを満た す実数tがないので, (2,3) もDに属しません。 以上のことから, ・などに対応する直線を何本かいても領域 とわかるはずです。 174 点(X,Y) がDに属する条件は Y=tXf' +1 を満たすtが t≧0 に 少なくとも1つあることである。 解答| (1, -5) はDに属します。 一方, t≧0におい とになり, 点(X,Y) がDに属するためのX, Y の条件を調べる。 (X,Y)ED ⇒ t≧0.① のあるtに対してが (X,Y) を通る, すなわち, Y=tX 2+1 ･･････ ② が成り立つ ◆最初から, (x,y)ED とし てもよい。 409 注 1° 参照。 tの2次方程式 2-Xt+Y-10 ......②' が①の範囲に少なくとも1つの解をもつ さらに,(*)より,②'において, [(i) t<0,t>0 に解が1つずつある (i) t=0 が解である () t>0 に2つの解がある のいずれかが成り立つためのX,Yの条件を調べる とよい f(t)=t-Xt+Y-1 =(1-12/1)-1/2x+1-1 とおいて,u=f(t) のグラフを考えると, (i)または(ii) f(0)≦0 .. Y≤1 であり, 頂点の座標: (1/2) 20 MO D: 軸の位置 : 1> ->0 区間の端点での値: f(0)>0 A Y / X°+1, X> 0 かつ Y>1 である。 したがって, y≦1 または mys/max2+1, x>0 かつy>1" ・1, であり、右図の斜線部分 (境界を含む) である。 ◆このような「見方の転換」 がキーポイントである。 重解の場合も2つの解と考 える｡ (i) f(0) < 0. (i) f(0)=0 である。 頂点の座標 (判別式), 軸 の位置, 区間の端点での値 を調べる。 101 参照。 34 参考 hiy=t+1はtの値によらずに放物線C:y=212+1に接してい て, その接点が P(2t, t2+1) であることを見抜くことができれば, 20 におい してPC上のx≧0の部分を動くので, Pの動きに伴ってんがどのように変 化するかを観察することによって同様の結果を得ることもできる。 第4章 図形と方程式 175 第4章

3問とも教えて欲しいです。 詳しく説明しながらだと嬉しいです。お願いします🙇🏻‍♀️

2650≦8<2πのとき,次の不等式を解け。 *(1) 2sin²0-4<5cos0 *(2) 2sin²0> sin0+1 (3) 2cos²0≦sin0+1 4章 三角関数

∠PHB＝90°と書かれていますが、何故でしょうか？ 地点A,B,Hは一直線上にあるのですか？下の画像の図を見ると、∠PHB＝90＋60＝150°だと思いました ; また、△ABHにおいて余弦定理により下の式がx＾2＝1200/7になるのか分かりません。解き方教えてください💧

解答 水平な地面の地点Hに, 地面に垂直にポールが立っている。 2つの地点A,B か らポールの先端を見ると, 仰角はそれぞれ30° と 60° であった。 また, 地面上の であった。 このとき, ポールの高さを求めよ。 ただし, 目の高さは考えないもの 測量では A,B間の距離が20m, 地点Hから2地点A,Bを見込む角度は 60° とする。 基本 135 針 例題135の測量の問題と異なり、与えられた値を三角形の辺や角としてとらえると, 空間図形が現れる。よって, 空間図形の問題 平面図形を取り出す に従って考える。 ここでは、ポールの高さをxmとして, AH, BH をxで表し, △ABH に 余弦定理 を利用する。 なお,右の図のように,点Pから線分ABの両端に向かう2つの 半直線の作る角を点Pから線分 AB を見込む角という。 HOPEL ポールの先端をPとし, ポール の高さをPH=x(m) とする。 △PAH で PH: AH=1:3 ゆえに AH=√3x (m) △PBH で PH:BH=√3:1 よって BH= √√3 △ABH において, 余弦定理により 202=(√3x2+ したがって -x (m) x>0であるから x2= 1200 7 よって, 求めるポールの高さは - (√3 x)² - 2. √3x -- 1200 7 x= A 単位:m = 30 ° 20 √√3 20√21 7 120/21 7 √3x 60° m B -x cos 60° 1 √3 x H x A A 30% 2 P √3 √√3x 60° B 2 B [J]] P 1x 1 H P √√3* 内角が30°60°90°の直 角三角形の3辺の長さの比 は 12:3 1200 _20√3 √7 √7 高さは約13m H 4章 4 17 三角形の面積