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重要 例題 225 定積分の最小値
a は 0<a<1 を満たす定数とする。
(1) 関数f(x)=xlx-α| のグラフの概形をかけ。
(2) 積分g(a)=fxx-aldxの値を最小にするaの値を求めよ。
CHART & SOLUTION
CHART & SOLUTION
絶対値 場合に分ける
[-(x-a) (x≤a)
(1) Ix-al= { }
解答
(1)
(x ≥a)
(2) (1) のグラフをもとに積分区間を 0≦x≦a≦x≦1に分割。
#sxsa kasxs IS
|dx0=(1-281 (4+1)
[-(x-a) (x≤ a)
(x≧a)
x-a
|x-α1 = (-1²
であるから
x-a
[-x(x-a)
f(x) = { = x(
(x≤ a)
x(x-a) (x≥a)
よって、y=f(x)のグラフの概形
は右の図の実線のようになる。
x3
x
a
= - [ ² - ² ² × ²] + [ ³² - ² x ²]
3
3
2
10
=-2
3
a³
2(9²)
なんで微分?
6
'g'(a)= a ² — — — = (a + √2)(a − +√ 2 )
S
g'(a)=0 とすると, 0<a<1 から
0<a< 1 におけるg(α) の増
減表は右のようになる。
よって, g(a) の値を最小に
する α の値は
(2) g(a)=${x(x-a)}dx+ x(x-a)dx co舗嵐 S
7₁S+ ²xE=(x)\₁54
a³\ 1
+
3
3 2
a=
a 1
=
2 3
x2+ax
MOITAM
f/M0ITMÃO NEI M
1 coper = -(x - 2)²+2²
3
[a]
a 0
g'(a)
√/22 g(a)
vala!
a=
...
0=(1-+p+²DE) (I+D) x[
2+²=(0)9/
a
a+
I
12th
1
3
√√2
:
0 +
極小
K
00000
SS
T
day
(東北大)
基本 218
αは積分区間を表すか
ら,等号は両方に必要。
x²-ax
= (x - 2)² - 4²
0≦x≦1を
積分区間
x=a (0<a<1) TA
する｡
33830-ON
= - [F(x)] + [F(x)]
DAT
=-2F(c)+F(a)+F(6)
←g (a) はαの3次関数と
なるから、 微分法を利用。
a=
のとき,g(a)
は極小かつ最小となる。
