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線を
直径
2
質(*)
→
半円の
鈍角
つ。
90° の
の四
であ
重心・外心・垂心の関係
基本例題 72
00000
|外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から 1:2に内分することを証明せよ。 なお,
正三角形でない △ABCの重心,外心,垂心Hは一直線上にあって重心は
基本例題 71 の結果を利用してもよい。
指針 証明することは,次の [1],[2] である。
[1] 3点G,O,Hが一直線上にある。
これを示すには,直線OH上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線
AM の交点を G′として, G′とGが一致することを示す。
[2] 重心 G が線分 OH を 1:2に内分する,つまり OG:GH=1:2 をいう。
AH // OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。
解答
右の図において,直線 OH と△ABCの
中線AMとの交点を G′とする。
AH⊥BC, OM ⊥BCより, AH// OM
であるから
AG' : G'M = AH : OM
=20M OM LD
B
(G)
#
O
1
M
A
GH
1
p.406, 407 基本事項 1 ②2,④4
=2:1AM+SED"
TAMは中線であるからGは△ABCの重心G と一致する。
よって,外心,垂心 H, 重心Gは一直線上にあり
HG : OG = AG:GM=2:19
すなわち
OG:GH=1:2
垂心,外心の性質から。
基本例題 71 の結果から。
検討」
外心,重心,垂心が通る直線
(この例題の直線OH) を
オイラー線という。 ただし,
正三角形ではオイラー線は定
義できない。 下の検討 ③ 参
照｡
【検討】 三角形の外心,内心、重心,垂心の間の関係 -
① 外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習72)。 円題歌
② 重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である (練習70)。
3
正三角形の外心,内心, 重心,垂心は一致する (練習71)。 したがって, 正三角形ではオイ
ラー線は定義できない。
F-100
19MAS30* $13 J1
(p.118 EX48, 49 |
練習
③72 0 は ALMN についてどのような点か。
△ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ L, M, N とする。 △ABCの外心
413
3章
1 三角形の辺の比、五心
10
5
る
う
う。
ある
2-1)
つ。
ある
1,2)
数で
*ある
たと
数は,
には,
①へ。
nill
14234
るな
を満
