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2次関数, 三角関数, 指数, 対数を中心にして
37 対数の大小比較 (対数不等式)
[1] a>0, a≠1 のとき,不等式loga(x+2)≧loga (3x+16) を解け.
[2] 不等式 log7x-3logx (7x)≦-1 を満たす実数xの範囲を求めよ.
解答
(富山大/学習院大)
ここ
とな
t>
[2]
[1]
loga(x+2) loga (3x+16)
...①
真数は正であるから,
x+2>0
x>
より
3x+160
16
.. x>-2
...②
x>_
3
>
①の右辺を変形すると,
10ga (3x+16)=
loga (3x+16)
loga (3x+16)
loga a²
2
となるから、 ①より,
loga(x+2)_oga(x+16)
底をαでそろえた
2
21oga(x+2)≧loga (3x+16)
loga(x+2)2≧loga (3x+16)
底αの値によって,真数を比較したと
きの不等号の向きが変化するので、場
...3 合分けをして考える
(ア) a>1のとき,③より, (イ) 0<a<1のとき,③より,
底αが0<a<1の場合は,
logaplogag
p≤q
(x+2)2≧3x+16
(x+2)2≦x+16
x²+x-12≧0
x²+x-12≦0
(x+4)(x-3)≧0
(x+4)(x-3)≦0
x-4, 3≤x
-4≤x≤3
であり、不等号の向きに
注意する
②も考えると,
②も考えると,
3≦x
-2<x≤3
(ア)(イ)より,不等式① が成り立つxの範囲は、
3≤x (α>1のとき)
0205&
2<x≦3 (0<a<1のとき
log7x-310gx (7) ≦1
･･･4
真数と底の条件から,x>0, x≠1である. 底は1を除く正の数である
④の左辺において
log (7x)=10g7(7x)10g77+log7x=1+log7x
log7x
log7x
log7x
となるから ④を整理すると,
log7x-3.
1+log7x
log7x
+1≦0 ･･･(5)
底を7でそろえた
