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5
OOOO0
重要 例題68 定義域によって式が異なる関数 (2)
関数 f(x)(0Sx<4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
114
(0Sx<2)
18-2x (2<xミ4)
2x
f(x)=
(2) y=f(f(x))
1
指針>定義域によって式が変わる関数では, 変わる 境目のx, yの値 に着目。
(2) f(f(x)) はf(x) の xにf(x)を代入した式で,
0Sf(x)<2 のとき 2f(x),
(1)のグラフにおいて, 0<f(x)<2となるxの範囲と, 2<f(x)<4となるxの範囲を見
極めて場合分けをする。
2Sf(x)<4のとき 8-2f(x)
解答
変域ごとにグラフをかく。
4(1)のグラフから,f(x) の
変域は
0<x<1のとき
0Sf(x)<2
1Sx<3のとき
2<f(x)<4
(1) グラフは図 (1)。
|2f(x)
(2) f(f(x))={
(0Sf(x)<2)
8-2f(x) (2<f(x)<4)
よって,(1)のグラフから
0Sx<1のとき
1Sx<2のとき
2Sx<3のとき
3<x<4のとき
よって,グラフは 図 (2)。
f(f(x))=2f(x)=2-2x=4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2-2.x=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=D16-4x
3<x<4のとき
0Sf(x)<2
また,1SxS3のとき,
f(x)の式は
1Sx<2なら f(x)=D2x
2<x<3なら f(x)=8-2.x
のように,2を境にして式
が異なるため,(2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる。
1=||
4
4
A
2
I
1
T
0
1
2 3
4
X
0
1234
x
参考 (2)のグラフは, 式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
[2] f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右図で,黒の太線 細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
ソ=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x))をf(x) とf(x) の
合成関数 といい, (ff)(x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
8から2倍を
引く
4
2
0
2倍する
4
x
で
